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Exo N°2: Exercice 2

1) Ecrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle:

$z_{1} = - 1 - i \sqrt{3}$ ; $z_{2} = - \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{1 + i}$ ; $z_{3} = {(\frac{- 4}{1 + i \sqrt{3}})}^{3}$

2) Ecrire les nombres complexes suivants sous forme trigonometrique:

$z_{4} = - \frac{5 + i \sqrt{3}}{2 - i \sqrt{3}}$ ; $z_{5} = 1 + e^{i θ} a v e c θ \in] - π; π [$

3) Montrer que $\frac{{(\sqrt{3} + i)}^{5}}{{(1 - \sqrt{3})}^{11}} - \frac{1}{64} i$

4) Le nombre $A = \frac{7}{128} {(1 + i)}^{14} + 128 {(\frac{1}{1 + i})}^{14} e s t - i l r e e l ?$

Correction

1) Forme exponentielle de :

$. |z_{1}| = 2; o n a \{\begin{cases} \cos (a r g (z_{1})) & = - \frac{1}{2} \\ \sin (a r g (z_{1})) & = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ $\Rightarrow a r g (z_{1}) = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3} donc z_{1} = 2 e^{i \frac{4 π}{3}}$

. $|z_{2}| = |\frac{- 1 + i \sqrt{3}}{1 + i}| = \frac{|- 1 + i \sqrt{3}|}{|1 + i|} = \frac{2}{\sqrt{2}} . a r g (z_{2}) = a r g (\frac{- 1 + i \sqrt{3}}{1 + i}) = a r g (- 1 + i \sqrt{3}) - a r g (1 + i) \Rightarrow a r g (z_{2}) = (π - \frac{π}{3}) - \frac{π}{4} \leftrightarrow a r g (z_{4}) = \frac{5 π}{12} d o n c z_{2} = 2 . e^{i \frac{5 π}{12}}$

$. z_{3} = {(\frac{- 4}{1 + i \sqrt{3}})}^{3} = \frac{- 4^{3}}{{(1 + i \sqrt{3})}^{3}} \leftrightarrow z_{3} = {|\frac{- 4}{1 + i \sqrt{3}}|}^{3} = 2^{3} = 8 . a r g (z_{3}) = a r g ({(\frac{- 4}{1 + i \sqrt{3}})}^{3}) = 3 a r g (\frac{- 4}{1 + i \sqrt{3}}) \leftrightarrow a r g (z_{3}) = 3 [a r g (- 4) - a r g (1 + i \sqrt{3})] = 3 (π - \frac{π}{3}) = 2 π \leftrightarrow z_{3} = 8 e^{2 iπ}$

2) Forme trigonometrique de :

$. z_{4} = \frac{5 + i \sqrt{3}}{2 - i \sqrt{3}} = \frac{(5 + i \sqrt{3)} (2 + i \sqrt{3}))}{(2 - i \sqrt{3}) (2 + i \sqrt{3})} = \frac{10 + 5 i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 3}{4 + 3} = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{7} = 1 + i \sqrt{3}$ . On a donc $|z_{4}| = 2 e t a r g (z_{4}) = \frac{π}{3} a i n s i z_{4} = 2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) . z_{5} = 1 + e^{i θ} = e^{i \frac{θ}{2}} . e^{- i \frac{θ}{2}} + e^{i \frac{θ}{2}} . e^{i \frac{θ}{2}} = e^{i \frac{θ}{2}} (e^{- i \frac{θ}{2}} + e^{i \frac{θ}{2}}) = 2 (\cos \frac{θ}{2}) \times e^{i \frac{θ}{2}}$

$θ \in] - π; π [\leftrightarrow \frac{θ}{2} \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [\leftrightarrow \cos \frac{θ}{2} > 0 donc z_{5} = 2 \cos (\frac{θ}{2}) \times [\cos (\frac{θ}{2}) + isin (\frac{θ}{2})] .$

3) On a : $\sqrt{3} + i = 2 e^{i \frac{π}{6}} e t 1 - i \sqrt{3} = 2 e^{- i \frac{π}{3}} \leftrightarrow \frac{{(\sqrt{3} + i)}^{5}}{{(1 - i \sqrt{3})}^{11}} = \frac{{(2 e^{i \frac{π}{6}})}^{5}}{{(2 e^{- i \frac{π}{3}})}^{11}} = \frac{2^{5} . e^{i \frac{5 π}{6}}}{2^{11} e^{- i \frac{11 π}{3}}} \leftrightarrow \frac{{(\sqrt{3} + i)}^{5}}{{(1 - i \sqrt{3})}^{11}} = 2^{5} e^{i (\frac{5 π}{6} + \frac{11 π}{3})} = 2^{- 6} . e^{i (\frac{27 π}{6})} = 2^{- 6} . e^{i (\frac{9 π}{2})} = \frac{1}{2^{6}} e^{i (4 π + \frac{π}{2})} = \frac{1}{64} e^{i \frac{π}{2}} \leftrightarrow \frac{{(\sqrt{3} + i)}^{5}}{{(1 - i \sqrt{3})}^{11}} = \frac{1}{64^{i}}$

4) $A = \frac{7}{128} {(1 + i)}^{14} + 128 {(\frac{1}{1 + i})}^{14} . o n a 1 + i = \sqrt{2} (e^{i \frac{π}{4}}) a i n s i$

$A = \frac{7}{128} {(\sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}})}^{14} + 128 {(\frac{1}{\sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}}})}^{14} = \frac{7}{128} {\sqrt{2}}^{14} e^{i \frac{7 π}{2}} + 128 \times \frac{1}{{\sqrt{2}}^{14}} e^{- i \frac{7 π}{2}} = \frac{7 \times 2^{7}}{128} e^{i (4 π - \frac{π}{2})} + \frac{128}{2^{7}} e^{- i (4 π - \frac{π}{2})}$

$\leftrightarrow A = \frac{7 \times 128}{128} e^{- i \frac{π}{2}} + \frac{128}{128} e^{i \frac{π}{2}} = 7 e^{- i \frac{π}{2}} + e^{i \frac{π}{2}} = - 7 i + i \leftrightarrow A = - 6 i d o n c A n' e s t p a s r e e l m a i s i m a g i n a i r e p u r .$

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