Chapitre 5: LE MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME - Physique-Chimie Terminale D | DigiClass
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LE MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME

I.  La loi de Coulomb

A.  Les charges électriques (rappel)

Il existe deux types d’électricité : une électricité chargé positivement et une électricité chargé négativement.

Par convention, une baguette de verre électrisée est chargée d’électricité positive et une baguette en plastique électrisée est chargée négativement.

NB :

  • Deux charges de même signe se repoussent et deux charges de signe contraire s’attirent.
  • Dans le système international, les charges électriques s’expriment en coulombs (C).

B.  Loi de coulomb

Deux charges électriques ponctuelles immobiles placées respectivement en A et B à la distance r dans le vide ou dans l’air, exercent l’une sur l’autre une force électrique respectivement $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$

Si QA > 0 et QB > 0 , $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$ sont  répulsives

Si QA < 0 et QB < 0, $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$sont  répulsives

Si QA > 0 et QB < 0, $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$ sont  attractives

C.  Expression scalaire de la force électrique

Les forces d’attraction ou de répulsion qui s’exercent entre deux charges ponctuelles QA et QB placées respectivement aux points A et B,

. ont la même droite d’action, la droite AB ;

. sont opposées;

. ont la même intensité. Cette intensité est proportionnelle à QA et QB et inversement proportionnelle au carré de la distance r = AB qui sépare les deux charges.

$\vec{F}_{A/B}$=$\vec{F}_{B/A}$=$K.\frac{|Q_{A}||Q_{B}|}{r^{2}}$

Avec :

  •  |$Q_{A}$| et |$Q_{B}$|     valeurs absolues des charges en coulomb [C]
  • d en mètre [m] ;

$K=\frac{1}{4π_{0}}$=9.109 en unités SI, constante de proportionnalité; ε0 : est la permittivité du vide ε0 = $\frac{1}{36π10^{9}}$

  • F en newton [N].

D.  Expression vectorielle de la force électrique

Définissons sur l’axe AB un vecteur unitaire  orienté de A vers B

  •   $\vec{F}_{A/B}$=$K\frac{|Q_{A}||Q_{B}|}{r^{2}}\vec{i}$ : Si QA > 0 et QB > 0  ou QA < 0 et QB < 0  ⇒ QA.QB > 0 ⇒ $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{i}$ ont même sens, alors la force est répulsive.

  • $\vec{F}_{A/B}$=$K\frac{|q_{A}||q_{B}|}{r^{2}}\vec{i}$ :Si QA < 0 et QB > 0  (ou vice versa) ⇒ QA.QB < 0 ⇒ $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{i}$ sont de sens contraires, la force est attractive.

Remarque : Comparaison entre les lois de Newton et de Coulomb

  • Loi de Newton : $\vec{F}$ = $-G\frac{m_{A}m_{B}}{r^{2}}\vec{i}$ : la force de Newton est toujours attractive.
  • Loi de Coulomb : $\vec{F}$ = $9.10^{9}\frac{q_{A}q_{B}}{r^{2}}\vec{i}$: la force de Coulomb peut être attractive ou répulsive.

Ordre de grandeur :

Soit un atome d’hydrogène (à un proton et un neutron) supposé seul dans l’espace. Comparons $\vec{F}_{e}$ et $\vec{F}_{g}$ s’exerçant entre le proton et l’électron.

mp = 1,61.10-27 kg, me = 9,1.10-31 kg, e = 1,6.10-19C, r = 0,53.10-10m

$F_{g}$=$G\frac{m_{p}m_{e}}{r^{2}}$ = $3,3.10^{-47}$ N  $F_{e}$ = $K\frac{q_{p}q_{e}}{r^{2}}$ = 8,2.10-8 N  ⇒ Le rapport donne : $\frac{F_{g}}{F_{e}}$ = $\frac{Gm_{p}m_{e}}{K|q_{p}||q_{e}|}$ = $4,4.10^{-40}$ ⇒ Fe = 1040 Fg

Conclusion :

La force gravitationnelle est toujours négligeable devant la force électrique dans le cas des particules chargées

II.  Champ électrique

A.  Définition

Considérons par exemple l’action du corps électrisé A sur le corps électrisé B.

Définition.

Il existe au voisinage de A, une région de l’espace où son influence peut s’exercer sur une autre charge électrique : cette région de l’espace est appelée champ électrostatique crée par le corps électrisé A.

En général, on dit qu’il existe un champ électrostatique $\vec{E}$ dans une région de l’espace si une charge électrique Q, placée dans cette région, est soumise à une force électrostatique telle que : $\vec{F}_{e}$=$Q\vec{E}$

Soit  $\vec{E}=\frac{\vec{F}}{Q}$  C’est ce rapport constant qui nous permet de définir le vecteur champ au point M, noté $\vec{E}$

En valeur : Fe = |𝑄|E  ⇒ $E=\frac{F_{e}}{|Q|}$  E : intensité du champ électrique s’exprime en N.C-1

C.  Champ électrique créé par une charge ponctuelle

1.  Expression scalaire et vectorielle

Soit une charge ponctuelle qA placée en un point A.

Déterminons les caractéristiques du vecteur champ électrique  créé par qA (appellé “charge source”) en un point quelconque M de l’espace. On le note $\vec{E}$.

Pour cela, plaçons en M une charge Q (appelée “charge d’essai”).

D’après la loi de Coulomb, la charge Q  est soumise à une force électrostatique (exercée par qA) : $\vec{F_{e}}$ = $\frac{1}{4π_{0}}$ $\frac{q_{A}Q}{r^{2}}\vec{i}$ (1)

Définition du champ : $\vec{F_{e}}$ = $Q\vec{E}$ (2)

En égalisant les deux relations (1) et (2), on a : $Q\vec{E}$ = $\frac{1}{4πε_{0}}$ $\frac{q_{A}Q}{r^{2}}\vec{i}$ ⇒ $\vec{E}$ = $\frac{1}{4πε_{0}}.\frac{q_{A}}{r^{2}}\vec{i}$ 

2.  Le champ électrique a pour caractéristiques :

Origine : le point M

Direction : celle de la droite AM

Sens :

  • A vers M si q > 0 on dit que $\vec{E}$  est centrifuge :  

  • M vers A si q < 0 on dit que $\vec{E}$ est centripète :    

Intensité : $E$ = $\frac{1}{4πε_{0}}.\frac{|q|}{r^{2}}$

Exercice

Calculer l’intensité du champ électrostatique créé par le proton d’un atome d’hydrogène sur l’orbite décrite par l’électron.

  1. Préciser le sens du vecteur $\vec{E}$ décrivant ce champ.
  2. Quelle est l’intensité de la force qui s’exerce sur l’électron en mouvement sur cette orbite? Préciser le sens du vecteur force $\vec{F}$ .

On donne :

. r = 53,3.10-12m (r = rayon de l’orbite) ; +e = 1,6.10-19C (charge du proton) ; -e = -1,6.10-19C (charge de l’électron).       

Solution

Intensité du champ électrostatique

$E$ = $K\frac{q}{r^{2}}$  AN : 𝐸 = $9.10^{9}\frac{1,6.10^{-19}}{(53,33.10^{-12})^{2}}$  E = 5,06.1011V/m

a-Sens du vecteur champ $\vec{E}$

$\vec{E}$ est centrifuge car il est créé par une charge (+), le proton

b-Intensité de la force que subit l’électron

F = q E = e E     AN : F = 1,6.10-19x5,06.1011    ⇒    F= 8,1.10-8N

Sens du vecteur force $\vec{F}$

$\vec{F}=q\vec{E}$  avec q = -e ⇒ $\vec{F}$ = -e  . Donc $\vec{F}$ est opposé à $\vec{E}$.

3.  Lignes de champ

On appelle ligne de champ une courbe qui, en chacun de ces points, est tangente au vecteur champ électrique $\vec{E}$ . Cette courbe est orientée dans le même sens que le vecteur $\vec{E}$.

$\vec{E}$ et $\vec{i}$ ont même direction : le champ est dit radial.

  • q > 0 : $\vec{E}$ et $\vec{i}$ ont même sens, le champ est donc centrifuge (fuit le centre)

  • q < 0 : $\vec{E}$ et $\vec{i}$ sont de sens opposés, le champ est donc centripète (vers le centre)

4.  Champ électrostatique créé par plusieurs charges ponctuelles

Le champ résultant $\vec{E}_{r}$, créé en un point M par n charges q1, q2, ……, qn placées en des points O1, O2, ……, On est donné par la relation suivante : $\vec{E}_{r}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}+.......+\vec{E}_{n}$= $\sum_{i=1}^{n}$ $\vec{E_{i}}$

Cas de deux charges

Considérons deux charges qA et qB (charges sources) qui, respectivement placées en A et B créent un champ $\vec{E}$ en un point M. Etudions les caractéristiques de $\vec{E}$ .

Pour cela, plaçons une charge q (charge d’essai) au point M

Exercice

On considère deux charges – e et + 2e, placées respectivement en A et B, AB = r. il existe un point M de la droite (AB) où le champ $\vec{E}$ est nul.

  1. Faire un schéma et placé sans calculs les segments de droite où un tel point est situé.
  2. Déterminer par le calcul la position du point M.
  3. On place une charge +e en M. A quelle force est soumise la charge +e ?

Corrigé

  1. Le schéma

Pour que le champ $\vec{E}$ soit nul en un point M, il faut que $\vec{E}_{A}(M)$ et $\vec{E}_{B}(M)$ $\textbf{soient de sens opposés.}$ M est soit à droite de $\textbf{B(x > r )}$ soit à gauche de $\textbf{A (x < 0)}$

  1. La position du M

$\vec{E}_{A}(M)$ = $-\frac{e}{4πε_{0}x^{2}}\vec{i}$ et $\vec{E}_{B}(M)$ = $\frac{e}{4πε_{0}(r+x)^{2}}\vec{-i}$  et  $\vec{E}_{A}(M)$ + $\vec{E}_{B}(M)$  = $\frac{e}{x^{2}}$ + $\frac{2e}{(r+x)^{2}}$  = 0 

D’où  ou $x = \frac{-r}{\sqrt{2}-1}$ ou $x = \frac{r}{\sqrt{2}-1}$ La solution est : $x = \frac{-r}{\sqrt{2}-1}$

  1. La force en M

$\vec{F}=q\vec{E}=\vec{0}$ car au point M le champ électrique est nul.

D.  Champ électrique uniforme

1.  Définition

Un champ électrique uniforme dans un domaine de l’espace si en tout de  ce domaine le vecteur champ $\vec{E}$ conserve la même direction, le même sens et le même vecteur.

2.  Condensateur plan

Le condensateur plan est formé de deux plaque métalliques appelées armatures, disposées parallèlement l’une en face de l’autre et séparées par un isolant (diélectrique : vide, air, papier,matière plastique, céramique…)       

Le condensateur est chargé si on établit une tension U entre les armatures grâce à ungénérateur continu. Entre les armatures d’un condensateur chargé, il existe un champ électrique uniforme.

$\textbf{Caractéristiques du champ}$ $\vec{E}$

$\textbf{Direction:}$ perpendiculaire aux armatures

$\textbf{Sens:}$  A l’intérieur d’un condensateur chargé, le champ électrique $\vec{E}$ est toujours dirigé vers les potentiels décroissant c’est-à -dire de l’armature (+) vers l’armature (–).

$\textbf{Intensité :}$ $E$ = $\frac{U}{d}$ $\left|\begin{array}{ll}U ∶ tension imposée par le générateur\\ d ∶ distance entre les armature \\E ∶ le champ électrique . L'unité dans le système SI est V.m^{-1} \end{array}\right.$

$\textbf{Autre expression du champ  dans un condensateur plan}$

$E$ = $\frac{Q}{ε_{0}.S}$ $\left|\begin{array}{ll}Q : la quantité d'electricité portée par chaque armature en valeur absolue \\S : surface en regard des armature \end{array}\right.$ $ε_{0}$ = $\frac{1}{36π10^{9}}$

Exercice d’application

Les armatures A et B d’un condensateur plan sont distante de $1 cm$. La tension $U_{BA}$ entre celles – ci est égale à 1 kV.

  1. Donner l’allure des lignes de champ électrique à l’intérieur du condensateur et indiquer leur orientation. Conclure.
  2. Quelle est la valeur du champ électrique entre les armatures ?
  3. L’aire d’une armature est égale à $20 cm^{2}$. Calculer la charge du condensateur.

Solution

  1. Le champ électrique étant uniforme entre les armatures d’un condensateur plan, les lignes de champ sont parallèles. L’armature B est positivement, car $U_{BA} = V_B – V_A > 0$.

Les lignes de champ sont orientés vers les potentiels décroissantes, de B vers A.

  1. La valeur du champ E.

$E$ = $\frac{U_{AB}}{d}$ d’où $E$ = $\frac{1000}{0,01}$ = $10^{5}V.m^{-1}$

  1. La charge du condensateur

On a $E$ = $\frac{Q}{ε_{0}.S}$ soit $Q = ε_{0}.E.S$        Q = 1,77 nC

III.  Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme

A.  Le vecteur accélération

On considère une particule (p) de masse m et de charge q placée dans un champ électrique $\vec{E}$ uniforme. Elle est soumise à une force électrique : $\vec{F}_{e}=q.\vec{E}$

Appliquons la R.F.D par rapport à un repère galiléen, on a : $Æ©\vec{F}_{ext}=m\vec{a}$

Dans le cas présent on considère que P << Fe ⇒ $\vec{F}_{e}=q.\vec{E}=m\vec{a}$ ⇒ $\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}$

Une particule chargée, placée dans un champ électrique uniforme et indépendant du temps, est soumise à une accélération constante : $\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}$

Remarque :

  1. L’accélération $\vec{a}$ dépend de la masse de la particule
  2. $\vec{a}$ et $\vec{E}$ ont même direction
  3. q > 0 $\vec{a}$ et $\vec{E}$ ont même sens
  4. q < 0 $\vec{a}$ et $\vec{E}$ sont de sens contraire

B.  Les équations vectorielles du mouvement

1.  Expression de l’accélération

Particule p(m, q)

$\vec{E}$ est uniforme et indépendant du temps

$M_0$ et $\vec{V_{0}}$ : position et vitesse à t = 0

$\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}=\vec{cste}$

2.  Expression de la vitesse

Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération : $\vec{V}=\frac{q}{m}\vec{E}.t+\vec{V_{0}}$

4.  Expression de la position

Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse : $\vec{OM}(t)=\frac{1}{2}.\frac{q}{m}.\vec{E}.t^{2}$ + $\vec{V_{0}}.t$ + $\vec{OM_{0}}$

C.  L’aspect énergétique

Lorsqu’une particule chargé P, de masse met de charge q, passe d’un point A au potentiel électrique $v_{A}$ à un point B au potentiel électrique $v_{B}$ , de l’espace où règne un champ électrostatique uniforme $\vec{E}$ , la valeur de sa vitesse passe de $v_{A}$ à $v_{B}$.

Appliquons le T.E.C, on a : $ΔE_{C}$ = $ΣW$.

La particule étant soumise à la seule force électrique $\vec{F}$ on a :

$\frac{1}{2}mV^{2}_{B}$ - $\frac{1}{2}mV^{2}_{A}$ = $q(v_{A}-v_{B})$ = $qU_{AB}$ ⇒ $V^{2}_{B}-V^{2}_{A}$ = $\frac{2q}{m}.U_{AB}$.

IV.  Les applications :

A.  Le canon à électrons

Le canon à électrons est un dispositif qui émet et accélère des électrons. Il est constitué d’une cathode métallique émettrice d’électrons par chauffage électrique et d’une anode qui attire les électrons. L’anode est percée d’un trou T. Entre l’anode et la cathode, le champ $\vec{E}$ $\textbf{est uniforme et indépendant du temps :}$ $E=\frac{U_{AC}}{d}$

1.  Equations du mouvement

La position de l’électron, à l’instant t, est donnée par son abscisse x:

$\left(\begin{array}{ c } x  \\ y  \\ z \end{array} \right)$  = $\frac{-e}{2m}t^{2} \times$ $\left(\begin{array}{ c } -E  \\ 0  \\ 0 \end{array} \right)$ $+ t \times$ $\left(\begin{array}{ c } V_{0}  \\ 0  \\ 0 \end{array} \right)$ + $\left(\begin{array}{ c } 0  \\ 0  \\ 0 \end{array} \right)$ ⇒ $\left\{\begin{array}{ll} x = \frac{-e}{2m}t^{2} + V_{0}t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{array} \right.$

$\vec{OM}(t)=\frac{1}{2}.\frac{q}{m}.\vec{E}.t^{2}$ + $\vec{V_{0}}.t$ + $\vec{OM_{0}}$

$x=\frac{eE}{2m}t^{2}$ + $V_{0}.t$ ⇒ $x=\frac{eU_{AC}}{2md}t^{2}$ + $V_{0}.t$

Le mouvement des électrons est un mouvement rectiligne.

$V=V_{x}=\frac{eE}{m}t$ + $V_{0}.t$ ⇒ $V=V_{x}=\frac{eU_{AC}}{md}t$ + $V_{0}$

La vitesse est une fonction croissante linéaire du temps, le mouvement est donc uniformément accéléré.

2.  Aspect énergétique

On a : $V^{2}_{B}-V^{2}_{A}$ = $\frac{2q}{m}.U_{AB}$ ⇒ $V^{2}_{A}-V^{2}_{C}$ = $\frac{-2e}{m}.U_{CA}$ or $U_{CA} = -U_{AC}$ d’où $V_{A}$ = $\sqrt{V^{2}_{C}+\frac{2e}{m}.U_{AC}}$

$U_{AC} > 0$ $\textbf{donc les électrons ont été accélérés.}$  

B.  La déflexion électrique des électrons.

La déflexion électrique est une déviation d’un faisceau d’électrons. Le dispositif permettant la déflexion est constitué de deux plaques P et P’ parallèle à la direction initiale du faisceau. Entre les plaques on applique une tension UPP’ constante.

V0 est la vitesse initiale des électrons acquise à la sortie d’un canon à électrons.                

1.  Equation du mouvement

On a : $\vec{OM}(t)=\frac{1}{2}.\frac{q}{m}.\vec{E}.t^{2}$ + $\vec{V_{0}}.t$ + $\vec{OM_{0}}$

La projection de cette équation vectorielle dans le repère (O ; $\vec{𝑖};\vec{𝑗}$) donne :

$\left(\begin{array}{ c } x  \\ y  \\ z \end{array} \right)$  = $\frac{-e}{2m}t^{2} \times$ $\left(\begin{array}{ c } 0  \\ -E  \\ 0 \end{array} \right)$ $+ t \times$ $\left(\begin{array}{ c } V_{0}  \\ 0  \\ 0 \end{array} \right)$ $\cdot$ $\left(\begin{array}{ c } 0  \\ 0  \\ 0 \end{array} \right)$ ⇒ $\left(\begin{array}{ c } x  \\ y  \\ z \end{array} \right)$  = $\left(\begin{array}{ c } V_{0}t  \\ \frac{-e}{2m}t^{2} \\ 0 \end{array} \right)$ ⇒ $\left\{\begin{array}{ll} x =  V_{0}t \\ y = \frac{-e}{2m}t^{2} \\ z = 0 \end{array} \right.$

 

z = 0 : le mouvement des électrons est donc plan.

$x=V_{0}t$ : suivant l’axe (Ox), le mouvement est uniforme.

$y=\frac{eE}{2m}t^{2}$ : suivant l’axe (Oy), le mouvement est uniformément varié.

$\vec{V}=\frac{d(\vec{OM})}{dt}$ ⇒ $\vec{V}$  $\left\{\begin{array}{ll} V_{x} = V_{0} \\ V_{y} = \frac{eE}{2m}t \\ V_{z} = 0 \end{array} \right.$

2.  Equation de la trajectoire

On a :

$x=V_{0}t$ (1) et $y=\frac{eE}{2m}t^{2}$ (2)

(1) ⇒ on a : $t=\frac{x}{V_{0}}$ (1')

(1') dans (2) ⇒ $y=\frac{eE}{2mV^{2}_{0}}x^{2}$ or $E=\frac{U_{pp'}}{d}$ ⇒ $y=\frac{eU_{pp'}}{2mdV^{2}_{0}}x^{2}$

La trajectoire des électrons est un arc de parabole de sommet O.

3.  Déflexion électrique

A la sortie après S, l’électron n’est plus soumis à la force électrique. $\vec{F_{e}}=\vec{0}$

$∑\vec{F}=\vec{0}$ car  $\vec{P}$ « $\vec{F_{e}}$ = $\vec{0}$ le mouvement de l’électron est rectiligne et uniforme.

La particule sort de l’espace champ électrostatique au point S de coordonnées $x_{S} = l$ et $y_{S} =\frac{qEl^{2}}{2mV^{2}_{0}}$  à la date $t_S$ telle que $l=V_{0}.t_{S}$, soit $t_{S}=\frac{l}{V_{0}}$

Au-delà du point S, le mouvement de la particule est rectiligne uniforme de vitesse $\vec{V_{s}}$ de composantes $V_{sx} = V_{0}$ et  $V_{sy} =\frac{qEl}{mV_{0}}$

L’angle β formé par les directions de $\vec{V_{0}}$ et $\vec{V_{s}}$ de  est appelé déviation angulaire électrostatique. On le détermine par deux méthodes différentes.

$\textbf{Première méthode}$

$tanβ=\frac{V_{S_{y}}}{V_{S_{x}}}=\frac{qEl}{mV^{2}_{0}}$

$\textbf{Deuxième méthode}$

$tanβ=\left(\frac{d_{x}}{d_{x}}\right)_{x=xs}$ avec $y=\frac{eE}{2mV^{2}{0}}x^{2}$ et $x_{s}=l$ d’où $tanβ=\frac{eEl}{mV^{2}_{0}}$

$\textbf{Point d’impact sur l’écran}$

$D = O^{'}A = O^{'}H + HA$

D = $Y_{s}$ + tanβ(L - $\frac{1}{2}$) = $\frac{eEl^{2}}{2mV^{2}_{0}}$ + $\frac{eEl}{mV^{2}_{0}}$(L - $\frac{1}{2}$ )

$D=\frac{e.E.I.L}{m.V^{2}_{0}}$ ou $D=\frac{e.U_{pp'}.I.L}{m.V^{2}_{0}.d}$

La distance D est proportionnelle à la tension appliquée aux bornes des plaques.

$D = k.U_{pp^{'}}$ avec $K=\frac{e.I.L}{m.V^{2}_{0}.d}$

$\textbf{EXERCICE D’APPLICATION}$

On établit entre deux plaques parallèles verticales ; anode A et cathode C une différence de potentielle 𝑈1=800V. Un électron animé d’une vitesse 𝑉𝑒=1,5.105m.s-1 aux plaques, pénètre en C. A et C sont placés à une distance 𝑑1=4cm. Un galvanomètre placé dans le circuit anode-cathode indique un courant d’intensité I=7mA.

  1. a) Déterminer l’équation de la trajectoire suivie par les électrons entre A et C, et préciser sa nature.

 b) Quelle est la vitesse V𝐴 d’un électron lorsqu’il atteint l’anode A ?

 c) Quel est le nombre d’électron capté par l’anode en 1s.

  1. Les électrons traversent l’anode A et pénètre en O entre les armatures horizontales P et Q longueur l =10cm et équidistant de 4 cm. La tension entre les deux plaques est 𝑈2=𝑉𝑃 -𝑉𝑄=100V.

a) Quelle est la valeur de la vitesse 𝑉𝑂 en A.

b) Etablir dans le repère (Ox ; Oy) l’équation cartésienne de la trajectoire suivie par les électrons à l’intérieur du condensateur et donner sa nature.

  1. On place sur l’écran fluorescent perpendiculaire à l’axe 𝑂𝑥 à une distance 𝐷=50𝑐𝑚 de la sortie des plaques. Soit M le point de réception des électrons sur l’écran E.

a) Calculer l’ordonnée d’un électron lorsqu’il sort des plaques au point S.

b) Donner l’équation et la nature de la trajectoire de ces particules au-delà de S.

c) Montrer que cette trajectoire passe par un point I (5;0) en cm et en déduire la valeur de la déviation verticale sur l’écran.

Données : 𝑚𝑒=9,1.10−31kg et 𝑞=−𝑒 =− 1,6.10−19C.

Solution

  1. a)) Equation de la trajectoire suivie par les électrons entre A et C, et préciser sa nature.

L'electtron soumis à la force electrique $\vec{F}_{e}$ = $q\vec{E}$

T.C.I : $\vec{F}_{e}$ = $q\vec{E}$ = $m\vec{a}$ = $\vec{a}$ = $-\frac{e}{m}\vec{E}$

$\vec{E}$ $\left|\begin{array}{ll}E_{x} = - E \\E_{y} = 0 \end{array}\right.$ ; $\vec{a}$ $\left|\begin{array}{ll}a_{x} = \frac{eE}{m} \\a_{y} = 0 \end{array}\right.$ ; $\vec{V_{0}}$ $\left|\begin{array}{ll}V_{ox} = V_{0} \\V_{oy} = 0 \end{array}\right.$ et $\vec{OM}$ $\left|\begin{array}{ll}x = \frac{e}{m}t^{2} + V_{0}t \\y = 0 \end{array}\right.$

y=0, alors la trajectoire est une droite mais son mouvement est uniformement accéléré suivant Ox.

 b)) La vitesse de l'électron en A

T.E.C : $\frac{1}{2}mv^{2}_{A}$ - $\frac{1}{2}mv^{2}_{C}$ = $eU$ ⇒ $v_A$ = $\sqrt{v^{2}_{C}+\frac{2eU}{m}}$

AN : $v_A$ = $\sqrt{(1,5 * 10^5)^2+\frac{2 * 1,6 * 10^{-19} * 800}{9,1.10^{-31}}}$ = $1,67 *10^{7}m.s^1$

 c)) Nombre d'lectron capté en 1s

$Q=It=ne$ ⇒ $n=\frac{It}{e}$ = $\frac{7*10^-3}{1,6*10^-19}$ = $ 4,37 * 10^{16}electrons$

  1.  

a))Vitesse en 0.

Entre A et O il ne règne aucune champ, donc $E=0$, alors

$E_{G}(0)$ = $E_{G}(A)$ ⇒ $v_{0}$ = $v_{A}$ = $1,67 *10^{7}m.s^1$

b)) Equation de la trajectoire 

T.C.I : $\vec{F}_{e}$ = $q\vec{E}$ = $m\vec{a}$ = $\vec{a}$ = $-\frac{e}{m}\vec{E}$

$\vec{E}$ $\left|\begin{array}{ll}E_{1x} = 0 \\E_{1y} = -E \end{array}\right.$ ; $\vec{a}$ $\left|\begin{array}{ll}a_{x} = 0 \\a_{y} = \frac{eE}{m}\end{array}\right.$ ; $\vec{OM}$ $\left|\begin{array}{ll}x = V_{0}t \\y = \frac{eE}{2m}t^2 \end{array}\right.$ ⇒ $y=\frac{eE}{2mv^{2}_{0}}x^2$ = $\frac{eU_{1}}{2mdv^{2}_{0}}x^2$

A.N : $y=\frac{1,6.10^{-19}*100}{2*9,1.10^{-31}*4.10^{-2}*(1,67.10^7)^2}x^2$ = $0,788x^2$

Alors la trajectoire des electrons à l'interieur du condensateur est un arc de parabole

3. a)) Coordonnées de S

$S$ $\left|\begin{array}{ll}x_{s} = l = 0,1 \\y_{s} = 0,788*0,1^2 =7,88*10^{-3} \end{array}\right.$

    b)) Equation de la trajectoire au dela de S

Au-delà de S, les electrons suivent une droite $(T): y=ax+b$ où  $a=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=l}$ = $2*0,788l*0,1$ = $0,1576$ ⇒ $(T): y=0,1576x+b$

Or S ∈ (T) ⇒ $y_s =0,1576x_s+b$ ⇒ $b=y_s-0,1576x_s$

$b=y_s-0,1576x_s$ = $7,88*10^{-3}$ - $0,1576*0,1$ = $-7,88*10^{-3}$

$(T):y=0,1576*0,1-7,88*10^{-3}$

    c)) Montrons que $I(5;0)$ ∈ (T)

$y=0,15761-7,88*10^{-3}=0$, Alors I ∈ (T)

- La valeur de la déviation verticale $y_M'$

$tanα=\frac{y_M^{'}}{IP}$ ⇒ $y_M'$ = $IP tanα$ où $tanα=0,1567$

$y_M'$ = $IP tanα$ = $(\frac{l}{2}+D)tanα$ = $(5.10^-2+0,5)*0,1567$

$y_M'$ = $8,67*10^{-2}m=8,67cm$