Les fonctions numériques
I. Limites-Continuités
A. Calcul de limites
1. Technique de calcul
a) Activité 1 : Limite à l’infini \mathbf{\infty} d’une fonction polynôme est égale à la limite de son monôme du plus haut degré
La limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du monôme du plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Exemple
\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(\frac{-2x^4+3x+5}{3x^2-2x-1})=\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(\frac{-2x^4}{3x^2}) =\;{\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(\frac{-2x^2}{3})}
\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(-2x^5-19x+2017) =\;\lim\limits_{{x \to{\infty}}}(-2x^5)
b) Activité 2 : Limite des fonctions irrationnelles
Pour les calculs des limites des fonctions irrationnelles, lorsqu'on rencontre la forme indéterminée, on utilise majoritairement l'expression conjuguée pour la lever.
Exemple
{\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1})}\\ ={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1})}{(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1})}}\\ ={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{(2x+1-x+1)}{(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1})}}\\ ={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{(x+2)}{(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1})}}\\ ={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{x(1+\frac{2}{x})}{|x|(\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}})}}\\ ={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{1}{0}}=+\infty\\ ={\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1})}
=+\infty
c) Activité 3 : Limite en un point
Exemple
\mathbf{{\lim\limits_{{x \to{0}}}\frac{x^2+|x|}{4x}}}
\Rightarrow\mathbf{\lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{x^2+|x|}{4x}}\mathbf{=\lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{x^2+x}{4x}\\=\lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{x(x+1)}{4x}\\= \lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{1+x}{4}}
  \mathbf{\lim\limits_{{x \to{0^+}}}\frac{x^2+|x|}{4x}=\frac{1}{4}.}
\Rightarrow\mathbf{{\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{x^2+|x|}{4x}}}\mathbf{={\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{x^2-x}{4x}}\\={\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{x(x-1)}{4x}}\\= {\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{-1+x}{4}}}
\mathbf{{\lim\limits_{{x \to{0^-}}}\frac{x^2+|x|}{4x}}=-\frac{1}{4}}
\mathbf{f \left\{ \begin{array}{l} f_1(x)=x^2-\frac{3}{x-2} \; si \; x<1\\ f_2(x)=\frac{x^2-3}{x\sqrt{x^2+x}}\;si\;x\ge{1} \end{array} \right. }
f_1(x)\exists{\;si\;{x-2}\ne{0}}\; et\; {x<1} \Rightarrow{ \left\{ \begin{array}{l} x\ne{2}\\ Df_1=]-\infty{;1[} \end{array} \right.}
f_2(x)\exists{\;si\;{x\sqrt{x^2+x}}\ne{0}}\; ; \;x\ge{1}\;;x^2+x\ge{0}\\\Rightarrow{ \left\{ \begin{array}{l} x\ne{0}\; et\;x^2+x>0\\ x\ne{0}\\ x\in{]-\infty{\;;-1[\cup{]0;\;+\infty}}}\;et\;x\ge{1}\\ Df_2=[1;\;+\infty[ \end{array} \right.}\\ Df=\mathbb{R}=]-\infty{;\;+\infty[}
Calculons les limites :
\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}f_1(x)=\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}x^2-\frac{3}{x-2}=+\infty\; car
\lim\limits_{{x\to{-\infty}}}(x^2)=+\infty et \lim\limits_{{x\to{-\infty}}}(\frac{3}{x-2})=0
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}f_2(x) {=\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{x^2-3}{x\sqrt{x^2+x}}\\= \lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{x^2(1-\frac{3}{x^{2}})}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}\\ =\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{(1-\frac{3}{x^{2}})}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1}}
\mathbf{\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}f_2(x)=\frac{1}{1}}
2. Opération sur les limites
Remarque :
Les formes indéterminées \mathbf{(+\infty{-\infty}\;;0\times{\infty}\;;\frac{\infty}{\infty}\;;\frac{0}{0})} signifie qu'il n'est pas possible de conclure directement l'existence de la valeur de la limite. Il faut lever l'indétermination.
3. Limite des fonctions composées
Soit f , g et h trois fonctions numériques tel que :
\mathbf{h=f\circ{g}} et a\;,b\; et \; c \in{\mathbb{R}}
si \mathbf{\lim\limits_{{x \to{a}}}g(x)=b}\;et\;\mathbf{\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x)=c}
alors \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}h(x)=c}
Exemple
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\sqrt{x^2+x+1}
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}(x^2+x+1)=+\infty\\ \lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\sqrt{x}=+\infty\\ \lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\sqrt{x^2+x+1}
\lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\cos{\frac{x}{x^2-1}}
\mathbf{ \lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\frac{x}{x^2-1}=0\\ \lim\limits_{{x \to{0}}}\cos{x}=1 \lim\limits_{{x \to{+\infty}}}\cos{\frac{x}{x^2-1}}=1 }
4. Limites et dérivation
Soit f et g deux fonctions de la variable réelle de x tel que f soit dérivable en x_0 et si \mathbf{g(x)={\frac{f(x)-g(x)}{x-x_0}}} alors \mathbf{\lim\limits_{{x\to{x_0}}}g(x)=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}f'(x)=f'(x_0)}
5. Limite et ordre
Soit a et \ell deux nombres réels, f et g deux fonctions numériques.
On a pour tout a assez grand :
Théorème de majorisation et de minorisation :
Max: si \mathbf{f\ge{g}} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}g(x)=+\infty} alors \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=+\infty}
Min: si \mathbf{f\ge{g}} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}g(x)=-\infty} alors \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=-\infty}
Si \mathbf{g\le{f\le{h}}} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}g(x)=\lim\limits_{{x\to{a}}}h(x)=\ell} alors \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=\ell}
Si \mathbf{f\le{g}} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=\ell} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}g(x)={\ell{'}}} alors \mathbf{\ell\le{\ell{'}}}
S'il existe une fonction U tel que \mathbf{|f(x)-\ell{|}\le{U(x)}} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}U(x)=0} alors \mathbf{\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=\ell}
B. Continuité
1. Continuité en un point
Soit f une fonction numérique et I un intervalle inclu dans Df. a\in{I} c’est-à-dire que f est continue en a alors que f admet une limite finie en a et est f(a) :
\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)=f(a)
2. Continuité à gauche, continuité à droite en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de type ]b;\;a]\cup{]a;\;c[} ou ]b;\;a[\cup{[a;\;c[} :
- Si \lim\limits_{{x\to{a^-}}}f(x)=f(a) alors f est dit continue à gauche en a ;
- Si \lim\limits_{{x\to{a^+}}}f(x)=f(a) alors f est dit continue à droite en a ;
- Si limite à gauche est égale limite à droite alors \mathbf{f} est continue en \mathbf{a}.
Si f admet une limite en un point, alors cette limite est unique.
3. Continuité sur un intervalle
Une fonction f est dite continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Remarques :
- Les fonctions constantes affines et polynômes sont continues sur \mathbf{\mathbb{R}} ;
- Les fonctions rationnelles et irrationnelles ainsi que leur fonctions composées sont continues sur leur ensemble de définition.
4. Prolongement par continuité
Soit f une fonction non définie en x_0 donc non continue en ce point.
Si \lim\limits_{{x\to{x_0}}}=\ell{(\ell{\in{\mathbb{R}}})} alors l'on peut prolonger f par continuité en x_0.
Soit h une fonction non continue en x_0 tel que \lim\limits_{{x\to{x_0}}}h(x)=\ell. La fonction défine par :
\left\{ \begin{array}{l} f(x)=h(x) \; si\;x\ne{x_0}\\ f(x_0)=\ell{=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}h(x)} \end{array} \right. est appelée le prolongement par continuité de h en x_0
5. Image d'un intervalle par une fonction continue et monotone
Soit une fonction f continue et monotone sur un intervalle I , l'image par f de I est aussi un intervalle.
- Si I est fermé, alors f(I) est fermé ;
- Si I est ouvert, alors f(I) est ouvert.
| Intervalle | [a;\;b] | ]a;\;b] | [a;\;b[ | ]a;\;b[ |
| f(I)\;si\;f\;croit | [f(a);\;f(b)] | ]\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x);\;b] | [a;\;\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x)[ | ]\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x);\;\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x)[ |
| f(I)\;si\;f\;décroit | [f(b);\;f(a)] | [f(b);\;\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)[ | ]\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x);\;f(a)] | ]\lim\limits_{{x\to{b}}}f(x);\;\lim\limits_{{x\to{a}}}f(x)[ |
C. Branche indéfinie
Soit f une fonction définie sur un intervalle I est \mathcal{(C)} sa courbe représentative dans un répère orthogonal (O,\;\vec{i},\;\vec{j}). On dit que f admet une branche indéfinie si l'on a l'une des situations suivantes :
- \lim\limits_{{x\to{x_0}}}f(x)=\infty{\Rightarrow{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=a\;(a\in{\mathbb{R}})}};
- {\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=\infty}.
1. Les asymptotes
- Si \mathbf{\lim\limits_{{x\to{x_0}}}f(x)=\infty} alors \mathcal{(C_f)} admet une asymptote verticale d'équation \mathbf{x=x_0} ;
- Si \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=a}\;(a\in{\mathbb{R}}) alors \mathcal{(C_f)} admet une asymptote horizontale d'équation \mathbf{y=a} ;
- Si \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=\infty} : deux situations se présentent
Calculons alors \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}}
\mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}=a}\;(a\in{\mathbb{R}}) ; on calcule \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}[f(x)-ax]}
Si \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)-ax=b} alors \mathcal{(C_f)} admet une asymptote oblique d'équation \mathbf{y=ax+b}.
2. Branches paraboliques
- Si \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\pm{\infty}}}}f(x)=\pm{\infty}} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}=0} alors \mathbf{\mathcal{(C)}} admet une branche parabolique de direction \mathbf{ox} ;
- Si \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=\infty} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}=\infty} alors \mathbf{\mathcal{(C)}} admet une branche parabolique de direction \mathbf{oy} ;
- Si \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)=\infty} ; \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}\frac{f(x)}{x}=a} et \mathbf{\lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)-ax=\infty} alors \mathbf{\mathcal{(C)}} admet une branche parabolique de direction \mathbf{y=ax}.
3. Courbe asymptotique
Soient f et g deux fonctions définies sur l'intervalle I.
Si \lim\limits_{{x\to{\infty}}}f(x)-g(x)=\infty alors \mathbf{\mathcal{(C_f)}} et \mathbf{\mathcal{(C_g)}} sont asymptotiques l'une de l'autre.
II. Dérivation
A. Dérivée des fonctions usuelles
| \mathbf{f(x)} | \mathbf{f'(x)} | Intervalle de validité |
| k | 0 | ]-\infty;\;+\infty[ |
| x | 1 | ]-\infty;\;+\infty[ |
| x^n,n\in{N^*} | nx^{n-1} | ]-\infty;\;+\infty[ |
| \frac{1}{x} | \frac{-1}{x^2} | ]-\infty;\; 0[\; ou\; ]0;\;+\infty[ |
| \frac{1}{x^n};,n\in{N^*} | \frac{-n}{x^{n+1}} | ]-\infty;\; 0[\; ou\; ]0;\;+\infty[ |
| \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} | ]0;\;+\infty[ |
| x^\alpha,\alpha\in{R} | \alpha x^{n-1} | ]0;\;+\infty[ |
| lnx | \frac{1}{x} | ]0;\;+\infty[ |
| e^x | e^x | ]-\infty;\;+\infty[ |
| \cos{x} | -\sin{x} | ]-\infty;\;+\infty[ |
| \sin{x} | \cos{x} | ]-\infty;\;+\infty[ |
B. Nombre dérivé, fonction dérivée
1. Nombre dérivé
a) Définition
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I contenant le réel x_0. La fonction suit x\longmapsto{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} est appelée fonction dérivée de f. On le note f' : \mathbf{x\longmapsto{f'(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}}.
Le réel \ell défini par \ell=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}f'(x)=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} est appelé le nombre dérivé de f en x_0. On le note f'(x). On dit que f est dérivable en x_0.
Posons x=x_0+h on a h=x-x_0
x\to{x_0};\;h\to{0}
\lim\limits_{{x\to{0}}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\lim\limits_{{x\to{0}}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
b) Détermination en point
Si f est dérivable en un point x_0\in{I} alors f admet un nombre dérivé en x_0 qui est \mathbf{f'(x_0)}.
\mathbf{f'(x_0)=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} ou \mathbf{f'(x_0)=\lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}
- Si \lim\limits_{{x\to{x_{0^-}}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell{'\in{\mathbb{R}}}, on dit que f est dérivable à gauche de x_0 ;
- Si \lim\limits_{{x\to{x_{0^+}}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell{'\in{\mathbb{R}}}, on dit que f est dérivable à droite de x_0 ;
- Si limite à gauche est égale à la limite à droite alors f est dérivable en x_0.
2. Interprétation géométrique du nombre dérivé
Soit f une fonction dérivable sur I et \mathcal{(C)} sa représentation graphique. La tangente à \mathcal{(C)} au point d'abscisse A de coordonnées (x_0\;y_0) est la droite T passant par A le coefficient directeur f'(x_0).
L'équation de la tangente est alors :
\mathbf{T:\;y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}
Remarque :
- Si \lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\infty : la fonction f n'est pas dérivable en x_0. Cependant, \mathcal{(C_g)} admet une tangente verticale ou une demi-tangente au point A(x_0;\;y_0) ;
- Si \lim\limits_{{x\to{x_0}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0 : f est dérivable en x_0 et sa courbe \mathcal{C} admet une tangente horizontale d'équation y=f(x_0) et \mathcal{C_f} un extrenum en ce point.
Lorsque f est continue au voisinage de x_{0^-} et \lim\limits_{{x\to{x_{o^-}}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell{=f'_g(x_0)} et \mathcal{C_g} admet une demi-tangente ; - Si \lim\limits_{{x\to{x_{o^+}}}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell{'} alors f est dérivable en x_{0^+} et \mathcal{C_g} admet une demi-tangente en x_0.\ell{\ne{\ell{'}}} n'est pas dérivable en x_0 cependant, \mathcal{C_f} admet deux demi-tangente en x_0^+. Le point de coordonnées x_0 est appelé point angulaire.
C. Calcul de dérivés
1. Opération sur les dérivées
Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur Df et Dg, on a les opérations suivantes :
| Fonction | Dérivée |
| kf, k\in{R} | kf' |
| f+g | f'+g' |
| fg | f'g+fg' |
| \sqrt{f} | \frac{f'}{2\sqrt{f}} |
| \frac{1}{f} | \frac{-f}{f^2} |
| \frac{f}{g} | \frac{f'g-fg'}{g^2} |
| x \mapsto f(x)^n | x \mapsto nf'(x)f(x)^{n-1} |
2. Dérivées des fonctions composées
Soient f\,g\;et\;h , les fonctions numériques tel que h=g\circ{f} ; si f et g sont dérivables sur I , et sa dérivée est :
\mathbf{h'=(g\circ{f})=f'.(g\circ{f})'}
Exemple
(\cos(ax+b))' =-(ax+b)'\times{\sin(ax+b)}
(\cos(ax+b))'=-a\sin({ax+b})
\cos{'x}=-\sin{x}
Remarque :
- Les fonctions constantes, affines, polynômes sont dérivables, définies et continues sur \mathbf{\mathbb{R}} ;
- Les foctions rationnelles et irrationnelles sont dérivables sur leurs domaines de définitions, il en est de même que leur fonction composée ;
- Si f est n fois dérivable sur I, on note f'{^{(n)}} la dérivée n^{ième} de f
f';\;f"\;...f'{^{(n)}} sont des dérivées successives de f.
D. Application du calcul des dérivées
1. Sens de variation d'une fonction
Soient f une fonction dérivable sur I et f' sa fonction derivée. Le signe de f' détermine les variations de f sur I :
- Si {f'>0} alors f est croissante sur I ;
- Si {f'<0} alors f est décroissante sur I ;
- Si {f'=0} alors f est constante sur I.
2. Recherche d'extremum
Si la dérivé s'annule en chageant de signe en un point x_0 de I alors f admet un extremum relatif en x_0. La courbe \mathcal{C_f} admet soit un maximum soit un minimum.
Le signe de f" donne la concavité de la courbe. Le point où f" s'annule en changeant de signe s'appelle point d'inflexion.
Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I mais la réciproque n'est pas vrai.
3. Bijection et dérivation
Si f est dérivable sur I et f' non nulle, alors f réalise une bijection de I vers f(I); autrement dit, si f est une fonction définie sur un intervalle I, si f est continue et stritement monotone sur I alors f réalise une bijection de I vers f(I).
f admet une bijection réciproque f^{-1} définie de f(I)\to{I}.
Les courbes de f et de f^{-1} sont symétriques par rapport à la première bissectrice(droite d'équation y=x).
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I avec I=[a;\;b]. Si de plus f(a)\times{f(b)}<0 alors il existe un réel unique \alpha tel que f(\alpha)=0. Autrement dit, f(a)\times{f(b)}<0 alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha.
III. Etude de fonction
A. Déterminer le domaine de définition
Étudier la parité (valeurs positives ou négatives), étudier la périodicité suivant que f soit paire ou impaire ou périodique, on dit limiter le domaine d'étude à un intervalle I inclu dans Df.
\forall{x}\in{Df},\;-x\in{Df};\;f(x)=f(-x) alors f est paire.
\forall{x}\in{Df},\;-x\in{Df};\;-f(x)=f(-x) alors f est impaire.
T:\;x\in{Df},\; k\in{\mathbb{Z}};\;(x+kT)\in{Df}\;f(x+kT)=f(x) alors f est périodique de période T. De plus la courbe admet la droite d'équation :
* x=a comme axe de symétrie : x\in{Df},\;(2a-x)\in{Df}\;f(2a-x)=f(x)
\forall{x}\in{Df},\;(x-a)\in{Df}; \;(x+a)\in{Df};\;f(a-x)+f(a+x) ;
* A(a;\;b) est un centre de symetrie si :
\forall{x}\in{Df}, (2a-x)\in{Df}; f(2a-x)+f(x)=2b.
B. Calculer les limites aux bornes de Df suivant d'interprétation graphique
C. Calcul de la dérivabilité
Le calcul de la dérivabilité est suivi de l'étude du signe de la dérivée et l'établissement des variations et le tableau de variation.
D. Tracer la courbe , les asymptotes, les tangentes s'il y'a lieu
\mathcal{C_f}\cap{(ox)}\;:\;f(x)=0
\mathcal{C_g}\cap{(oy)}\;:\;x=0;\;f(0)
Intersection avec une droite, on pose f(x)=(d).