Chapitre 2: LES LOIS DU MOUVEMENT DE NEWTON - Physique-Chimie Terminale D | DigiClass
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LES LOIS DU MOUVEMENT DE NEWTON

I.  Les référentiels

A.  Référentiel galiléen

Définition : $\textbf{Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l’inertie et la relation ondamentale de la dynamique est applicable. Ce référentiel est fixe}$.

B.  Référentiel héliocentrique ou référentiel de COPERNIC

$\textbf{Le référentiel galiléen par excellence est le référentiel de Copernic encore appelé référentiel héliocentrique}$.
Un référentiel de Copernic ou héliocentrique est un référentiel constitué du centre du soleil comme origine et de trois directions fixes allant du centre du soleil vers trois étoiles lointaines supposés fixes.
On utilise ce référentiel pour étudier le mouvement des planètes.

C.  Référentiel géocentrique ou référentiel de CORIOLIS

Le référentiel de CORIOLIS est un référentiel dans lequel tout repère a pour origine le centre de la Terre et dont les trois axes sont parallèles à ceux du repère de COPERNIC.
$\textbf{Le référentiel de CORIOLIS n’est pas rigoureusement galiléen mais on l’admet comme tel}$ si on est dans un espace très proche de la Terre pendant une courte durée.

D.  Référentiel terrestre

Ce référentiel est lié à la Terre. Il n’est pas galiléen. Mais pour l’étude des mouvements de courtes durées couvrant de faibles distances à la surface de la Terre, on le considère comme galiléen.

II.  Les lois de Newton

A.  Centre d’inertie d’un système

Le centre d’inertie d’un système est le barycentre des points Ai affectés des coefficients égaux aux masse $m_{i}$ des solides élémentaire.

$\sum_{i=1}^n{m_{i}\overrightarrow{OA_{1}}}$ = $\vec{0}$ ou $\vec{OG}$ = $\frac{\sum_1^n{m_{1}\overrightarrow{OA_{1}}}}{\sum_{i=1}^n{m_{i}}}$

B.  Première loi : Le principe de l’inertie

$\textbf{Enoncé}$ : Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un système est isolé ou pseudo-isolé et quel que soit le mouvement, son centre d’inertie G est :

  • soit au repos si G est initialement immobile $\overrightarrow{V_{G}}=\overrightarrow{0}$
  • soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme : $\overrightarrow{V_{G}}=\overrightarrow{Cte}$

C.  Deuxième loi : Relation fondamentale de la dynamique

1.  Enoncer

$\textbf{Théorème du centre d’inertie}$

$\textbf{Enoncé}$ : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie :

$\vec{F_{ext}}$ = $m.\vec{a_{G}}$

$\textbf{Relation fondamentale de la dynamique}$

$\textbf{Enoncé}$ : Dans un référentiel galiléen, la somme Ʃ$\vec{F}$ des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse m de l’objet par son vecteur accélération $\vec{a}$ : Ʃ$\vec{F}$=m.$\vec{a}$

NB : Le théorème du centre d’inertie étudie seulement le mouvement du centre d’inertie d’un solide. Par contre la Relation Fondamentale de la dynamique permet d’étudier tout le mouvement de l’objet ponctuel.

 

2.  La relation de la dynamique et le principe de l’inertie

Si Ʃ$\vec{F_{ext}}=\vec{0}$ alors $m.\vec{a_{G}}=\vec{0}$ et $\vec{a_{G}}=\vec{0}$ donc $\overrightarrow{V_{G}}=\overrightarrow{Cte}$

La dynamique est une partie de la mécanique qui étudie les mouvements en tenant compte des forces.

D.  Troisième loi : Le principe des actions réciproques

$\textbf{Enoncé}$ : Lorsqu’un solide S exerce une force $\overrightarrow{F_{S/S^{'}}}$  sur un solide $S^{'}$, le solide $S^{'}$ exerce sur le solide S  la force directement opposé $\overrightarrow{F_{S^{'}/S}}$

Ces deux force ont même direction droite d’action et vérifient la relation : $\overrightarrow{F_{S/S^{'}}}=-\overrightarrow{F_{S^{'}/S}}$

III.  Comment résoudre un problème de la dynamique ?

A.  Etapes essentielles à suivre

Pour résoudre un problème de dynamique, nous conseillons la démarche suivante :

  1. Délimiter avec précision le système à étudier en considérant successivement chacune de ses parties.
  2. Choisir le référentiel d’étude. Celui-ci doit être Galiléen si on veut appliquer la R.F.D. ou le théorème de
    l’énergie cinétique.
  3. Faire sur un schéma clair le bilan des forces extérieures appliquées au système.
  4. Appliquer dans le référentiel Galiléen choisi, la R.F.D. ou le théorème de l’énergie cinétique.
  5. Exploiter cette relation. Si elle est vectorielle, on l’utilise en projetant les vecteurs sur un système d’axes
    orthonormés.
  6. En déduire les conséquences cinématiques :
    • La R.F.D. permet de calculer l’accélération aG . Il faut alors tenir compte des conditions initiales et
      chercher les primitives successives de l’accélération pour obtenir la vitesse, les équations horaires et
      l’équation de la trajectoire du centre d’inertie G ;
    • Le théorème de l’énergie cinétique permet de calculer directement la vitesse du centre d’inertie.

B.  Applications

1.  Mouvement d’un solide sur un plan incliné

  • $\textbf{Le plan incliné est parfaitement lisse}$

Considérons un solide S de masse m pouvant glisser sur un plan incliné parfaitement lisse.

$\textbf{NB}$: L’expression ”parfaitement lisse” signifie qu’il n’y a pas de frottement.

Déterminons les caractéristiques du mouvement de S sur le plan incliné. Nous allons utiliser la démarche préconisée ci-dessus :

$\textbf{Système étudié : le solide}$ S

L’étude est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces appliquées au système :

. le poids $\vec{P}$ du solide S ;

. la réaction $\vec{R}$ du plan incliné.

Dans le référentiel choisi, appliquons le théorème ducentre d’inertie au système :

Ʃ$\vec{F_{ext}}=m\vec{a}$ avec Ʃ$\vec{F_{ext}}=\vec{P}+\vec{R}$  d’où : $\vec{P}+\vec{R}=m\vec{a}$

Projetons cette relation sur les deux axes (O, $\vec{i}$) et (O, $\vec{j}$)

Sur (O, $\vec{j}$) : $-Pcos^{α}+R=0$

NB: Le vecteur accélération ~ a est parallèle au plan incliné.

Sur (O, $\vec{i}$) : $Psin^{α}+0=max$ avec P=m.g

Nous déduisons $a=gsin^{α}$

  • $\textbf{Le plan incliné est rugueux}$

Il y a alors des frottements entre le solide S et le plan incliné. En reprenant l’étude ci-dessus à partir du bilan des forces, nous avons :

    • le poids $\vec{P}$ du solide S ;
    • la réaction $\vec{R}$ du plan incliné $\vec{R}$ = $\vec{R_{N}}$ + $\vec{f}$

- la composante $\vec{f}$ représente les forces de frottement. $\vec{f}$ est parallèle au plan incliné et opposée au mouvement.

- la composante $R_{N}$ est la réaction normale ; elle est perpendiculaire au support

Dans le référentiel choisi, appliquons le théorème du centre d’inertie au système :

Ʃ$\vec{F_{ext}}=m\vec{a}$ avec Ʃ$\vec{F_{ext}}=\vec{P}+\vec{R}+\vec{f}$ d’où $\vec{P}+\vec{R}+\vec{f}=m\vec{a}$

Projetons cette relation (4.6) sur les deux axes (O, $\vec{i}$) et (O, $\vec{j}$)

Sur (O, $\vec{i}$) : $Psin^{α}+0-f = ma_{x}$

Sur (O, $\vec{j}$) : $-Pcos^{α}+R=0$

Avec P = mg, nous déduisons : $a_{x}$ = $gsinα-\frac{f}{m}$

2.  Exercices d’application

EXERCICE 1

Un solide de masse M abandonne sans vitesse initiale glisse en translation le long de la ligne de plus grande pente s’un plan incline de α par rapport à l’horizontale. Au bout d’un certain temps, il atteint le bas du plan incline et poursuit sa route sur le plan horizontal. On suppose négligeables toutes les forces de frottements. Déterminer l’accélération puis la nature du mouvement sur le plan incline et sur le plan horizontal

$\textbf{Solution}$

Système : Solide de masse M

Référentiel : Terrestre

Forces extérieures :

Forces à distances ou de champs : le poids $\vec{P}$ du solide.

Forces de contact : la réaction $\vec{R}$ du sol

Représentation du système :

Applications des lois et résolution des différentes équations.

D’après la RFD

Ʃ$\vec{F_{ext}}=m\vec{a}$ on écrit donc $\vec{P}+\vec{R}=m\vec{a}$

Projection sur les axes du repère :

$\left\{\begin{array}{rcr}P_x & = & ma \\-P_{y} + R & = & 0 \\\end{array}\right.$

On constate aussi que

$sinα=\frac{p_{x}}{p}$ ⇒ $p_{x}$ = $mgsin^{α}$

Ceci nous amène a écrire : $a=gsin^{α}$

a>0 : Le mouvement du solide est rectiligne uniformément accéléré.

Sur la deuxième parti du trajet, nous avons :

Ʃ$\overrightarrow{F_{ext}}=m\vec{a}$

$\vec{P}+\vec{R}=m\vec{a}$

Par projection nous obtenons : $\vec{a}=\vec{0}$      a=0

Le mouvement ici est dit rectiligne uniforme.

$\textbf{EXERCICE 2}$

Un mobile lance a la vitesse de 20 m/s aborde un plan incline à 10%

  1. Déterminer l’accélération
  2. Donner la distance parcourue avant l’arrêt
  3. Donner la durée du parcours.

On donne m =500 g

$\textbf{Résolution}$ :

Système : Solide

Référentiel : Terrestre

Forces extérieures :

Forces à distances ou de champs : le poids $\vec{P}$ du solide.

Forces de contact : la réaction $\vec{R}$ du sol

Représentation du système

$\textbf{Solution}$

  1. L’accélération

La RFD :

  Ʃ$\overrightarrow{F_{ext}}=m\vec{a}$ $\vec{P}+\vec{R_{N}}=m\vec{a_{G}}$

Par projection on obtient :

$\left\{\begin{array}{rcr}-P_{y} + R_N = 0 & & & & (1) \\-P_{x} + 0 & = & -ma_G & & (2) \\\end{array}\right.$

On a $P_x$ = $Psinα$  d’où $a_G$= - gsinα       AN : $a_G$ = - 1 $m/s^2$

  1. La distance parcourue

            AN : $L=\frac{V_f^2-V_i^2}{2a}$  AN : L = 200 m

  1. La durée du parcours

V = at + $V_{0}$ ⇒ $t=\frac{V-V_{0}}{0}$  AN : t = 20 s

EXERCICE 3

Un objet de masse m = 20 Kg glisse le long d’une ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle α = 30° par rapport à l’horizontale. La somme $\vec{R}$ , supposé constante, des force de contact reparties en surface et exercées par le plan sur l’objet fait un angle β avec la normal au plan.

  1. Exprimer le vecteur accélération du mobile en fonction de α, β, m, R et g.
  2. Lâché sans vitesse initiale, ce mobile parcourt une distance d = 5 m en une durée t = 1,7 s. calculer l’accélération du mouvement.

    1. Exprimer l’angle β en fonction de α, a et g et la calculer.
    2. Déterminer l’expression de la valeur de en fonction de m, g, a et α. La calculer.

$\textbf{Corrigé}$

Système étudié : corps de masse m

Référentiel d’étude : référentiel terrestre supposé galiléen

Bilan des forces : poids $\vec{P}$ ; $\vec{R}$($\overrightarrow{R_{t}}$ ; $\overrightarrow{R_{n}}$)

  1. Expression du vecteur accélération

Appliquons la RFD au système : $\vec{P}+\vec{R}=m\vec{a}$

Sur x’x on a : m.g.sinα – $R_{t}$ = $ma_{x}$ avec $R_{t}$ = $Rsinβ$ on a : $a_{x}$ = $(gsinα-\frac{R}{m}sinβ)$

Sur $yy^{'}$ $a_{y}$ = 0 car le mouvement se déroule uniquement suivant Ox.

 $\vec{a}_{x}\vec{i}$ + $\vec{a}_{y}\vec{j}$ d’où $a_{x}$ =$gsinα+\frac{R}{m}sinβ$ $\vec{i}$ 

  1. L’accélération du mouvement.

Origine des espaces : point où l’objet est abandonné $x_0$ = 0

Origine des dates : l’instant où l’objet est abandonné $v_0$ = 0

x(t) = $\frac{1}{2}at^{2}$  ⇒ a = $\frac{2x}{t^{2}}$;  A.N :  a = $\frac{2*5}{1,7^{2}}$  ⇒  a = 3,46 $m.s^{2}$

  1.  
    1. Expression de l’angle β

Sur x’x on a : $m.g.sinα$ – $R.sinβ$ = $ma$ ⇒ $R.sinβ$  =  $m.g.sinα – ma$      (1)

Sur y’y on a : - $m.g.cosα$ + $R.cosβ = 0 ⇒ $Rcosβ  =  $m.g.cosα$     (2)

 $\frac{1}{2}$ donne $\tanβ$ = $\tanα$ - $\frac{α}{g\cosα}$ ⇒   β = $\tan^{-1}$(tanα - $\frac{α}{g\cosα}$ )   : β = 9,62°

      b. Expression de la valeur de $\vec{R}$

On a :

$R.sinβ$  =  $m.g.sinα – ma$ ⇒ $(Rsinβ)^{2}$ = $(m.g.sinα – ma)^{2}$ (3)

$Rcosβ$  =  $m.g.cosα$ ⇒ $(Rcosβ)^{2}$ = $(m.g.cosα)^{2}$ (4)

(3) + (4)  donne $R^2$ = $(m.g.sinα – ma)^{2}$ + $(m.g.cosα)^{2}$ ⇒ $\sqrt{(mg sinα – ma)^{2}+(mg cosα)^{2}}$

AN : R = 172,16 N

EXERCICE 4

Un skieur, de masse 80 kg, est tiré à vitesse constante le long d’une pente  inclinée d’un angle α = 30° par rapport à l’horizontale. La perche assimilable à un câble, fait un angle β = 45° avec la pente. Le skieur est en translation. Il exerce au niveau des skis une force de frottement de valeur f = 50 N.                                                                                                                   

  1. Faire un inventaire des forces extérieures appliquées à l’ensemble (skieur + skis)              
  2. Appliquer le principe de l’inertie et projeter sur les axes la relation ainsi trouvée.
  3. Déterminer littéralement, puis numériquement :
    1. La tension T exercée par la perche,                                
    2. La composante normale de la réaction du sol sur les skis.

  1. Inventaire des forces extérieures

Système : skieur + skis

Référentiel d’étude : référentiel terrestre supposé galiléen

Bilan des forces :

    1. Le poids du skieur : $\vec{P}=m\vec{g}$
    2. L’action du sol sur les skis : $\vec{R}=\vec{R_{N}}+\vec{f}$
    3. Tension du câble : $\vec{T}$

2. Application du principe d’inertie

Le système est en mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.

On a donc :       Ʃ$\vec{F_{ext}}=\vec{0}$ ⇒ $\vec{P}+\vec{R}+\vec{T}=\vec{0}$

Sur $x^{'}x$ on a : - $Psinα + $Tcos – $f$ = 0   car   $R_t$ = f     ⇒    - $mg.sinα + $Tcosβ –$f$ = 0

Sur $y^{'}y$ on a : - $Pcosα + $Tsinβ + $R_n$ = 0           ⇒           - $mg.cosα + $Tsinβ + $R_n$ = 0         

         3.

a. La tension T

$T=\frac{f+mg sinα}{cosβ}$    $\textbf{AN : T = 636 N}$

b. La réaction $R_{n}$

$R_{n}$ = $mg cosα - $Tsinβ       $R_n$ = 243 N