Chapitre 6: Nombres Relatifs - Mathématiques Sixième | DigiClass
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Nombres Relatifs

I.  Ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs

A.  Notion de signe et valeur absolue

Définition

On a des nombres $(-5);  \,(+2);  \,(-50);  \,(+60)$  constitués d’un signe “ $+$" ou  “$-$"    suivis d’un entier naturel appelé valeur absolue ; ces nombre s’appellent des entiers relatifs

L’ensemble des entiers relatifs se note  $\mathbb{Z}$

                  

                               $\mathbb{Z}= \{……(-4); \,(-3);  \,(-2); \,(-1); \,0; \,(+1); \,(+2); \,(+3); \,( +4) ……\}$ :

Exemple

Le signe de l’entier relatif $(-50)$ est $( - )$ et sa valeur absolue est $| 50 | = 50$

Le signe de l’entier relatif $(+30)$ est $( + )$ et sa valeur absolue est $| 30 | = 30$

 

 

B.  Entiers relatifs positifs et entiers relatifs négatifs

On a deux sortes de nombres relatifs ; ceux qui ont un signe $(+)$ et ceux qui ont un signe $(–)$

Définition 1

Les entiers relatifs qui ont un signe $(+)$ s’appellent les entiers relatifs positifs noté $\mathbb{Z}^+$

 

 Exemple

 Exemples : $(+6) \in \mathbb{Z}^+$;   $(+46) \in \mathbb{Z}^+$;    $(-17) \notin \mathbb{Z}^+$

    

Définition 2

 Les entiers relatifs qui ont un signe $(-)$ s’appellent les entiers relatifs négatifs noté $\mathbb{Z}^-$

 

 Exemple

 Exemples : $(-6) \in \mathbb{Z}^-$ ;    $(-46) \in \mathbb{Z}^-$ ;    $(+17) \notin \mathbb{Z}^-$

    

Remarque:

$(+0) = (-0) = 0$$0$ est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif.
$\mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^-$ qui se lit $\mathbb{Z}^+ \,inter \,\mathbb{Z}^-$ désigne l’ensemble des éléments communs à $\mathbb{Z}^+$ et à $\mathbb{Z}^-$ 
on écrit: $\mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^- = {0}$
$\mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^-$  qui se lit $\mathbb{Z}^+ \,union \,\mathbb{Z}^-$ désigne l’ensemble de tous les  éléments de $\mathbb{Z}_+$ et de $\mathbb{Z}_-$
on écrit : $\mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^- = \mathbb{Z}$

 

Exercice d’application

Remplacer les pointillés suivants par $\cup$ ou $\cap$

$(+2)......\mathbb{Z}$;    $(+5)......\mathbb{Z}^+$;      $(-14).....\mathbb{Z}^+$;     $(+16).....\mathbb{Z}^-$;      $(+456)......\mathbb{Z}^-$;    $(-205)......\mathbb{Z}^-$

 

 

II.  Ensemble des décimaux relatifs

A.  Notation

On a aussi des nombres comme $(+3,7); \,(+2,5); \,(-1,6)$  constitués d’un signe $(+)$ ou $(–)$ suivis d’un nombre décimal.

Ces nombres sont appelés des décimaux relatifs ; L’ensemble des décimaux relatifs se note  $\mathbb{D}$

 

 

B.  Quelques remarques

 

Remarque:1

On sait que $6 = 6,00$   ainsi $(+8) = (+8,00)$ ;  $(-7) = (-7,00)$

alors :

- Tout nombre entier relatif est donc un nombre décimal relatif
- Tous les éléments de $\mathbb{Z}$ sont aussi des éléments de $\mathbb{D}$
- On écrit  $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$ qui se lit  “$\mathbb{Z}$ est inclus dans $\mathbb{D}$ "

 

Remarque: 2

Les décimaux relatifs qui ont un signe $(+)$ s’appellent des décimaux relatifs positifs ; leur ensemble se note  $\mathbb{D}^+$.

         

                        Exemple : $(+23,7); \,(+7,84)  …….$

 

Les décimaux relatifs qui ont un signe $(-)$ s’appellent des décimaux relatifs négatifs ; leur ensemble est noté $\mathbb{D}^-$. 

 

                        Exemple : $(-23,7); \,(-7,84)  ……..$ ;

 

 

III.  Rangement des nombres relatifs

A.  Nombres opposés

 

$(-5)$ et $(+5)$ sont deux nombres relatifs opposés

$(+25,7)$ et $(-25,7)$ sont aussi deux nombres relatifs opposés

Définition

Deux nombres relatifs opposés sont deux nombres qui ont la même valeur absolue et des signes contraires.

 

 

B.  Droite graduée – Rangement des nombres relatifs

 

Traçons une droite $(D)$ et  plaçons régulièrement sur la droite des segments de même longueur $1cm$ .

La droite $(D)$ est appelé une droite graduée

Le nombre correspondant à chaque point de la graduation est appelé “ abscisse de ce point “

 

11_2

 

Exemple : l’abscisse de $R$ est $(-3)$  celui de $H$ est $(+5)$

Tous les nombres sur la droite graduée sont rangés du plus petit au plus grand de la gauche vers la droite

 

 

IV.  Addition de deux nombres relatifs

A.  Déplacement sur une droite graduée

 

En se déplaçant sur la droite graduée $(D)$ en partant de $0$ on a :

* $(+6)$ signifie “déplacement de $6$ unités vers la droite

* $(-2)$ signifie “déplacement de $2$ unités vers la gauche

* $(+6) + (-2)$ signifie “déplacement de $6$ unités vers la droite puis de $2$ unités vers la gauche “

 

12

On remarque que $(+6) + (-2) = (+4)$

 

 

B.  Somme de deux nombres relatifs

 

                                  a) Les deux nombres sont positifs

 

calculons $(+6) + (+3);  \,(+4) +(+3)$

 

On a : $(+6) + (+3)  = (+9)$

          $(+4) + (+3)  = (+7)$

Règle:

Pour additionner deux nombres relatifs positifs on garde le signe $“+"$ et on additionne leurs valeurs absolues

 

 

                                    b) Les deux nombres sont négatifs

 

 calculons $(-3) + (-2);  \,(-4) + (-5)$

 

14_1

On a : $(-3) + (-2)   = (-5)$

            $(-4) + (-5) = (-9)$

 

Règle:

Pour additionner deux nombres relatifs négatifs on garde le signe $(-)$ et on additionne les valeurs absolues.

 

 

                              c) Somme de deux nombres relatifs de signe différents

 

Calculons $(+5) + (-2);  \,(+4) +(-6)$

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On a : $(+5) + (-2)   = (+3)$

          $(+4) +(-6) = (-2)$

 
Règle:

Pour additionner deux nombres relatifs de signe contraires on garde le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue  et on fait la différence de leurs valeurs absolues.