Monômes - Polynômes
I. Rappels
A. Application Monômes
On appelle une application monôme toute application définie par :
$ f : R ⟶ R$
$x ⟼ f(x)= ax^n$ avec $a$ le coefficient, $x$ la variable réelle et $n$ le degré du monôme.
$g(x)=4x^2$ est un monôme : 4 est le coefficient; $x$ est la variable ; 2 est le degré.
B. Application polynôme
On appelle polynôme une somme de monômes définie par :
$g : R⟶R$
$x ↦ g(x)= ax^n+ bx^n-1+ cx^n-2 + ......... + k.$
Le degré d’un polynôme est le degré le plus grand des monômes du polynôme.
$h(x)= 3x^4 + 7x^3 + 2x^2 + x + 9$ ; 4 est le degré du polynôme.
C. Factorisation
Factoriser revient à rechercher un facteur commun , c'est-à-dire un élément commun à chque groupe dans le polynôme.
$(2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)$
Ce polynôme est divisé en deux groupes $(2x-3)(x+1)$ et $(x+9)(2x-3)$. L'élément commun aux deux groupes est $(2x-3)$.
Ainsi:
$(2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)$
$(2x-3)[(x+1)-(x+9)]$
$(2x-3)[(x+1-x-9]$
$(2x-3)(-8) = -8(2x-3)$
II. Opérations sur les polynômes
A. Rappels
$(a+b)^2 =a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b)= a^2 – b^2$
B. Développement d’un polynôme
Développer un polynôme c’est transformer une expréssion du polynôme en une somme de monômes.
Exemple:
1) Développer puis réduire les polynômes suivants:
$A(x)= 3x(5x^2 + 2x^-2)+(x+4)(3x+7)$
$B(x)=(3x+5)(6x-4)$
2) Développer en utilisant les identités remarquables
$F(x)=(3x+5)^2 +(x+7)(x-7)$
$G(x)=(2x-1)^2 – (4x+1)(4x-1)$
C. Factorisation d’un polynôme
Factoriser revient à rechercher un facteur commun. C'est-à-dire un élément commun à chaque groupe dans le polynôme.
1 - Recherche de facteurs communs
$A(x)= (2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)$
Resolution
Ce polynôme est divisé en deux groupes $(2x-3)(x+1)$ et $(x+9)(2x-3)$. L'élément commun aux deux groupes est $(2x-3)$.
Ainsi: $A(x)= (2x-3)(x+1)-(x+9)(2x-3)\\=(2x-3)[(x+1)-(x+9)]\\=(2x-3)(x+1-x-9)\\=(2x-3)(-8)$
$A(x)= -8(2x-3)$
$B(x)= (2x-5)$$(1+x)$-$2(7x-1)$$(2x-5)$ + $2x-5$
2 - Recherche de facteurs communs cachés
Factoriser
$F(x)=(2x+4)$$(x-1)$+$(3x+7)$$(x+2)$
$G(x)=(2x+1)$$(3-x)$+$(1+x)$$(-1-2x)$ +$2x^2$ +$x$
3 - Utilisation des produit remarquables
Factoriser
$H(x)=25x^2 -30x +9$
$J(x)=(x+5)^2 -(7x-3)^2$
$I(x)= 49x^2 +14x +1$
4 - Utilisation de factorisation partielles
$k(x)=4x^4 -16x^3 +16x^2$
$l(x)= 7x- 7y +2ax-2ay$
D. Addition et multiplication d’applications polynômes
1 - Addition
Soient $f(x)=x^2 +10x +25$ et $g(x)=2x^3 +x^2 +5x +1$.
Calculer le polynôme $k(x)= f(x) + g(x)$
Réponse:
$k(x)=2x^3+ 2x^2 + 15x +26$
La somme de deux applications polynômes est une application polynôme.
2 - Multiplication
Soient $f(x)=x^2 +2x +1$ et $g(x)=(3x+1)$.
Calculer $h(x)=f(x) * g(x)$
Réponse:
$h(x)=3x^3 +7x^2 +5x +1$
Conclusion :
Le produit de deux applications polynômes est une application polynôme.