Applications Linéaires - Applications Affines
I. Applications linéaires
A. Définition
On appelle application linéaire de $R$ vers $R$ toute application f définie par
$f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto ax$.
Remarque :
-Une application linéaire de $R$ vers $R$ est un monôme de degré 1 et de coefficient « $a$ ».
-Le réel « $a$ » est appelé coefficient de l’application linéaire.
Exemple :$f(x)=3x$ ; $g(x)=\frac{1}{3}x $ ; $k(y)= 2y$ sont des applications linéaires de $R$ vers $R$.
B. Représentation graphique
1. Théorème
La représentation graphique de l'application linéaire
$f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto ax (a \in{\mathbb{R}})$
est une droite d'équation $y=ax$ qui passe par l'origine du répère et par le point de coordonnées $(1;a)$. Le vecteur $\vec{v\!}$($\begin{array}{rc}1\\a\end{array}$) est un vecteur directeur de cette droite.
2. Répresentation
Soit a répresenter $f(x)=2x$ et $g(x)=-\frac{1}{2}x$
x | y | |
A | 0 | 0 |
B | 1 | 2 |
x | y | |
E | 0 |
0 |
F | 2 |
-1 |
Determiner le $x$ et $y$ de $F(x;y)$.
C. Propriétés
1. Image de la somme de deux nombres réels
Activité
Soit f une application linéaire de $R$ vers $R$ définie par
$f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto 2x$
- Compléter le tableau suivant.
- Comparer $f(x_1+x_2)$ et $f(x_1)+f(x_2)$.
Réponse:
$x_1$ |
$x_2$ |
$x_1+x_2$ |
$f(x_1)$ |
$f(x_2)$ |
$f(x_1+x_2)$ |
$f(x_1) + f(x_2)$ |
3 |
5 |
8 |
6 |
10 |
16 |
16 |
-1 |
2 |
1 |
-2 |
4 |
2 |
2 |
-4 |
-6 |
-10 |
-8 |
-12 |
-20 |
-20 |
On remarque que $f(x_1+x_2)$ = $f(x_1) + f(x_2)$.
-Si f est une application linéaire de $R$ vers $R$ $x_1$ et $x_2$ deux réels, alors $f(x_1+x_2)$ = $f(x_1) + f(x_2)$
2. Image du produit de deux réels
Soit g l’application linéaire définie de $R$ vers $R$ par $g(x)=-3x$
Calculer $g(2 *5)$ et $2* g(5)$ ; que remarque- t-on ?
Réponse
$g(x)=-3x$ ; $g(2*5)= g(10)= -3 *10= -30$
$2 * g(5)= 2 * (-3* 5)= 2 x ( -15)= -30$ ;
On remarque que $g(2 * 5) = 2 * g(5)$.
Si f est une application linéaire de $R$ vers $R$ et $x$ et $k$ des réels , alors $f(kx)= k.f(x)$
3. Image de 0 par une application linéaire
Pour toute application linéaire f, on a $f(0)=0$.
II. Applications affines
A. Définition
On appelle application affine de $R$ vers $R$ toute application f définie par :
$f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
B. Cas particuliers
- Si $a=0$ alors $f(x)=b$ ; on dit que $f$ est une application constante.
- Si $b=0$ alors $f(x)=ax$ ; alors dans ce cas $f$ est une application linéaire.
$f(x)= 2x+1$ ; $g(x)=7x-4$ ; $h(x)=\frac{1}{3}x – 4$ sont les applications affines.
C. Représentation graphique
La représentation graphique de l’application affine
$f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto ax+b$
est une droite d’équation $y=ax+b$ qui passe par le point $M(0 ; b)$.
Représentation
Soit à représenter f(x)=2x-1
(D) :$y=2x-1$
x | y | |
A | 0 | -1 |
B | 1 | 1 |
D. Sens de variation d’une application affine
1. Activité
Soit $f$ une application affine définie par
$f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto f(x)=2x+1$
et soit $x_1=2$ et $x_2=3$.
1)Calculer $f(x_1)$ et $f(x_2)$ et comparer $x_1$Â et $x_2$ et ensuite $f(x_1)$ et $f(x_2)$.Â
2) Soit l’application affine $g(x)=-3x +4$ ; calculer $g(x_1)$ et $g(x_2)$ et les comparer.
Réponse
1) Calculons $f(x_1)= f(2) = 2 * 2 + 1= 4 + 1= 5$ Â Â Â ;Â $ f(x_2)= f(3)= 2 * 3 +1 = 6 + 1 = 7$
On a $2<3$ ⇔$ x_1 2) Calculons $g(x_1)= g(2) = -3 * 2 + 4= -6 + 4= -2$    ;  $$g(x_2)= g(3)= -3 * 3 +4 = -9 + 4 = -5$$ On a $2<3$ ⇔ $x_1<x_2$ et $g(x_1)> g(x_2)$ on dit $g$ est décroissante.
2. Théorème
L’application affine définie par:
$f:$$\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto f(x)=ax+b$
- $f$ est croissante si $a> 0$ c'est-à-dire pour tout réels $x_1$ et $x_2$ ; si $x_1< x_2$ alors $f(x_1) <f(x_2)$;
- $f$ est décroissante si $a< 0$ c'est-à-dire pour tout réels $x_1$ et $x_2$ ; si $x_1 >x_2$ alors $f(x_1)>f(x_2)$;
- $f$ est constante si $a=0$ c'est-à-dire $f(x)=b$ pour tout $x$.
Exercice d’application
Soit $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{3}X - 5$; $g(x)=2(6-\frac{1}{2}X)$ et $h(x)=4-\frac{1}{3}X (4 + X)$
1) Ces applications sont –elles des applications affines ?
2) Donner le sens de variation de chacune d’elles.
3) Représenter ces applications dans un même repère.
III. applications affines par intervalles
A. Exemple 1
Soit f l’application de $R$ vers $R$ définie par $f(x)= |2x+1|+|-x+3|$:
- Ecrire $f(x)$ sans le symbole de valeur absolue.
- Représenter $f(x)$ sur chaque intervalle.
Réponse
$f(x)=|2x+1|+|-x+3|$
$ X$ |
|
||||||
$|2x+1|$ |
$-2x-1$ |
$2x+1$ |
$2x +1$ |
||||
$|-x+3|$ |
$-x+3$ |
$-x+3$ |
$x-3$ |
||||
$f(x)$ |
$-3x+2$ |
$x+4$ |
$3x-2$ |
Pour x∈ ]-$\infty$ ;-$\frac{1}{2}$] $f(x)= -3x+2$ ; $f$ coïncide alors avec une application $f_1(x)=-3x+2$.
Pour x ∈ [-$\frac{1}{2}$ ;3] $f(x)= x+4$ ; $f$ coïncide alors avec une application $f_2(x)=x+4$.
Pour x∈ [3 ;+$\infty$] $f(x)= 3x-2$ ; f coïncide alors avec une application $f_3(x)=3x-2$.
$f(x)$ coïncide dans chacun des trois intervalles avec une application affine ; on dit que $f$ est une application affine par intervalles.
- Représentation graphique
x | y | |
A | 0 | 2 |
B | 1 | -1 |
x | y | |
E | 0 | 4 |
F | -1 | 3 |
x | y | |
A | 0 | -2 |
B | 1 | 1 |
B. Exemple 2
Soit $g$ l’application de $R$ vers $R$ définie par:
Représentons dans un repère orthonormé la fonction $g$
Sur chaque intervalle l’application $g$ est constante . La réunion de ces trois intervalles
est l’ensemble $R$.
Pour traduire le fait que l’application $g$ est constante sur chacun des intervalles ; on dit que $g$ est une fonction en escalier sur $R$ .