OSCILLATIONS MECANIQUES : PENDULE ELASTIQUE HORIZONTALE

I. Le pendule Ã©lastique

Le pendule élastique est constitué d’un solide accroché à l’extrémité d’un ressort à spires non jointives.

A. Le pendule Ã©lastique horizontal

Lorsque le ressort est au repos (ni tendu, ni comprimé) sa longueur est l₀.

Ecartons le solide (S) de sa position d’équilibre. Le ressort le ramène vers cette position d’équilibre (x = 0) par une force de $\vec{T}$ rappel appelée tension. (Figure b et Figure c).

Dans les deux cas (ressort tendu ou comprimé), la projection $\vec{T}$ de sur l’axe X OX est :

T_x = -K x où K est la constante de raideur du ressort, x=Δl = l – l₀ est la variation de la longueur du ressort.

Considérons le pendule élastique de la Figure a. A l’équilibre, le centre d’inertie G du solide occupe la position G₀ d’abscisse x = 0. Ecartons le solide de sa position d’équilibre de façon à amener G à hauteur du point A d’abscisse x_A et lâchons le. Il effectue des oscillations autour de sa position d’équilibre.

B. Etude expÃ©rimentale de la pÃ©riode

On mesure la période T₀ pour plusieurs amplitudes. On constate que la période est indépendante de l’amplitude.
On fait varier la masse. On constate que la période dépend de la masse.
On change le ressort. On constate que la période dépend de la raideur k.

C. Analyse dimensionnelle de la pÃ©riode

En mécanique, il y a trois valeurs fondamentales :

La longueur [L]
Le temps [T]
La masse [M]

$\textbf{La vitesse :}$ [V]=$\frac{[L]}{[T]}=[L][T]^{-1}$

$\textbf{Accélération :}$ [A]=$\frac{[V]}{[T]}$ = $\frac{[L][T]^{-1}}{[T]} = [L][T]^{-2}$

$\textbf{Force F :}$ $[F] = [M] [A] = [M] [L] [T]^{-2}$

$\textbf{La période :}$ La période $T_0$ est fonction de deux paramètres du système : la masse m et la raideur k. On pose $T_0 = λ.m^{\alpha}.k^{\beta}$

Le facteur λ est une constante sans dimension.

Dimension de k.

[k]= $\frac{[F]}{[TL}$ = $\frac{[M][L][T]^{-2}}{[L]}=[M][T]_{-2}$

La période propre ayant la dimension d’un temps nous pouvons écrire :

$[T] = [M]^{\alpha}[k]^{\beta}$ = $[M]^{\alpha}([M][T]^{-2})^{\beta}$ = $[M]^{\alpha+\beta}[T]^{-2\beta}$

On obtient alors deux équations indépendantes à deux inconnues :

$\left\{\begin{array}{rcr}α+β & = & 0 \\ 2β & = & 1\\\end{array}\right.$ ⇒ $\beta$ = $\frac{-1}{2}$ et $\alpha$ = $\frac{-1}{2}$ on a alors $T_{0}$ = $λm^{\frac{1}{2}}k^{-\frac{1}{2}}$ = $\sqrt[λ]{\frac{m}{k}}$ on note λ=2π

D’où : $T_{0}$ = $\sqrt[2π]{\frac{m}{k}}$

II. Etude du mouvement de lâ€™oscillateur

A. Equation diffÃ©rentielle du mouvement

L’étude est faite dans le référentiel terrestre (galiléen). Le système étudié est le solide (S) de masse m. les forces extérieurs appliquées au système dans une position quelconque sont :

Le poids $\vec{P}$ du solide
La réaction $\vec{R}$ de la tige
La tension $\vec{T}$ du ressort

Appliquons le P.F.D : $\vec{P}+\vec{R}+\vec{T}=m\vec{a_{G}}$

Considérons la projection de cette équation vectorielle dans la direction du mouvement : l’axe (O ; $\vec{i}$ )

$ma_{x}$ = $P_{x}$ + $R_{x}$ + $T_{x}$. Avec $\vec{T} = -kx.\vec{i}$ et $\vec{a_{G}}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\vec{i}$ = $ð‘¥Ìˆ.\vec{i}$

Comme le mouvement est horizontal, le poids est perpendiculaire à la direction du mouvement : $P_{x}$ = 0.

La réaction étant perpendiculaire au support, sa projection dans la direction du mouvement est nulle : $R_{x}$ = 0.

On a : - $kx = ma_{G}$ ou - $kx = mð‘¥Ìˆ$

Soit : $ð‘¥Ìˆ +\frac{k}{m}x=0$ (1) c’est l’équation différentielle du mouvement.

La solution de cette équation différentielle est l’équation horaire $x(t)$.

B. Equation horaire du mouvement

1. Mouvement harmonique

La solution x(t) de cette équation différentielle est une fonction sinusoïdale de la forme :

$x(t)$ = $X_{m}\cos(\omega_{0}t + φ)$ ou $x(t) = X_{m}\sin(\omega_{0}t + φ)$

$\textbf{Remarque}$

$-1 ≤ X_{m}\cos(\omega_{0}t + φ) ≤ 1$ (S) oscille entre les points A’ et A d’abscisses respectivement $-Xm$ et $+Xm$.

Le mouvement du centre d’inertie de l’oscillateur est rectiligne sinusoïdal. Le pendule élastique horizontal non amorti est donc un oscillateur harmonique.

Signification des grandeurs :

$X_m$ $\textbf{est l’amplitude du mouvement}$ (élongation maximale). $X_m$ s’exprime en mètre (m).

$x$ $\textbf{est l’élongation à l’instant de date t}$.

φ $\textbf{est la phase à l’origine des dates}$. φ s’exprime en radian (rad).

$X_m$ et φ sont des constantes arbitraires déterminées par les conditions initiales.

$\omega_{0}$ $\textbf{est la pulsation propre de l’oscillateur}$.

$(\omega_{0}t + φ)$ $\textbf{est la phase à l’instant de date t en radian.}$

Vérifions que $x = X_{m}\cos(\omega_{0}t + φ)$ est solution de l’équation $ð‘¥Ìˆ+\frac{k}{m}x=0$

$\textbf{La vitesse :}$ $V = ð‘¥Ìˆ = - \omega_{0}X_{m}\sin(\omega_{0}t + φ)$

$\textbf{L'accélération}$ $a=v=ð‘¥Ìˆ= - \omega^{2}_{0}X_{m}\sin(\omega_{0}t + φ)$

$ð‘¥Ìˆ=-\omega^{2}_{0}x$ soit $ð‘¥Ìˆ+\omega^{2}_{0}x=0$ (2) On a une équation différentielle du même type que la précédente

Par identification des équations (1) et (2), nous avons : $\omega^{2}_{0}$ = $\frac{k}{m}$ soit $\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$

$\textbf{La pulsation propre dépend de la masse du solide et de la raideur du ressort et non des conditions initiales.}$

2. PÃ©riode propre â€“ FrÃ©quence propre

Soit $T_0$ la période propre.

On a : $T_{0}$ = $\frac{2π}{ω_{0}}$ ou $T_{0}$ = $2π\sqrt{\frac{m}{k}}$ avec $ω_{0}$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

m en kg ; k en N.$m^{-1}$; $T_{0}$ en s

La fréquence propre $N_{0}=\frac{1}{T_{0}}$ $N_{0}$ s’exprime en Hertz (Hz)

Exercice 1

Le centre d’inertie G d’un solide de masse $m=0,1 kg$, attaché à l’extrémité libre d’un ressort, a un mouvement rectiligne sinusoïdal dont l’équation horaire est : $x = 5 cos(15t - \frac{π}{3})$ unité : $x$ en $cm$ et $t$ en $s$.

Déterminer l’amplitude, la période propre et la fréquence propre du pendule élastique.
Ecrire l’expression de la vitesse du centre d’inertie G en fonction du temps. En déduire la vitesse maximale du solide.
Calculer l’élongation du mouvement à $t = 2 s$.
Calculer la raideur k.

Solution

a. $x(t)$ est de la forme $x = X_{m}\cos(\omega_{0}t + φ)$ l’amplitude du mouvement : $X_m = 5 cm$

la période propre est : $T_{0}$ = $\frac{2π}{ω_{0}}$ ou $T_{0}$ = $\frac{2π}{15}$ = 0,42s

m en kg k en $Nm^{-1}$ $T_{0}$ en $s$

la fréquence propre est : $N_{0}=\frac{1}{t_{0}}$ $N_{0}$ = $2,32 Hz$

b. Vitesse maximale

On a : $x = 5 cos(15t - \frac{π}{3})$ en dérivant, on obtient : $V = x = -75\sin(15t - \frac{π}{3})$

La vitesse maximale est : $V_m = 75 cm.s^{-1}$.

c. Elongation du mouvement

A $t = 2 s$ $x = 5.10^{-2}\cos(15x2 - \frac{π}{3})$ $ x = -3,9.10^{-2}m.$

d. La constant de raideur k.

$ω^{2}_{0}=\frac{k}{m}$ $k = m$ $ω_0$ = $22,5 N.m^{-1}$

$\textbf{Exercice 2}$

Au cours d’une séance de travaux pratiques, un groupe d’élèves étudie le mouvement d’un mobile de masse m, posé sur un banc à coussin d’air horizontal et attaché à un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K. Un dispositif d’acquisition permet d’enregistrer la position du centre d’inertie G du mobile à chaque instant de date t (Voir le graphe). Cette position est repérée sur un axe x’x horizontal, orienté de gauche vers la droite. L’origine O de l’axe coïncide avec la position du centre d’inertie lorsque le mobile est à l’équilibre.

1. Le mobile est-il écarté de sa position d’équilibre vers la droite ou vers la gauche ? Justifier la réponse.
2. Le mobile est-il lâché sans ou avec vitesse initiale ? Justifier la réponse.
3. Déterminer la période propre $T_0$ et la pulsation propre $ω_0$ de l’oscillateur.
Déterminer l’expression de l’élongation $x(t)$ de mouvement du mobile en fonction du temps. Déduire différentielle régissant les variations de $x(t)$.

Solution :

1- a- D’après le graphe, à t=0 s $x(0) = - X_{max}$ donc le solide est écarté initialement dans le sens négatif ; il est écarté initialement vers la gauche.

b- D’après le graphe, à t=0 s $x(0) = - X_{max}$or $V=\frac{dx}{dt}$ donc $v(t=0)=0$ d’où le solide est lâché initialement sans vitesse initiale.

c- la période propre : La période $T=0,2 s$

la pulsation propre : $ω_0$= $\frac{2π}{t_{0}}$ = $10π rad/s$

2-Expression de l’élongation $x(t)$

Posons $x(t) = - X_{max}\sin(\omega_{0}t + φ) ; d’après le graphe : $X_{max}=2cm$

à t=0 $x(0)= - X_{max}$ ⇒ $X_{max}\sin(φ)$ = $-X_{max}$⇒ $\sin(φ) = -1$ ⇒ $φ=\frac{-π}{2}$ d’où $x(t)=2.10^{-2}\sin(10\pi t - \frac{pi}{2})$.

Equation différentielle du mouvement :

$\frac{dx}{dt}$=$ω_{0}X_{max}cos(ω_{0}t-\frac{π}{2})$

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$=$-ω^{2}_{0}X_{max}sin(ω_{0}t-\frac{π}{2})$ = $100π^{2}x(t)$

D’où $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ + $100π^{2}x$ = 0

III. Etude Ã©nergÃ©tique

A. Energie potentielle Ã©lastique

Quand un ressort n’est ni comprimé ni étiré, son énergie potentielle est nulle. Un ressort allongé ou comprimé d’une longueur $x$ possède une énergie potentielle élastique.

$\textbf{L’énergie potentielle élastique d’un ressort est proportionnelle à la raideur au carré de son allongement}$.

$E_{p}=\frac{1}{2}K.x^{2}$

B. Energie mÃ©canique dâ€™un pendule Ã©lastique

Le solide S de masse m est en mouvement, il possède à l’instant t $\textbf{l’énergie cinétique}$ $E_C$. De plus le ressort se déforme au cours du temps, il possède de $\textbf{l’énergie potentielle élastique}$ $E_p$.

La conservation de l’énergie mécanique permet d’écrire

$E_{M}=E_{c}+E_{Pe}=Cte$

$E_{M}=E_{c}+E_{p}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$

On a : $x(t) = X_{m}\cos(\omega_{0}t + φ)$ et $V = x = - \omega_{0}X_{m}\sin(\omega_{0}t + φ)$

$E_{M}=\frac{1}{2}m$[$-X_{m}$ω₀sin(ω₀t + φ)]² + $\frac{1}{2}k$[$X_{m}$\cos(ω₀t + φ)]²

$E_{M}=\frac{1}{2}mX^{2}_{m}$ $ω^{2}_{0}$ $sin^{2}$(ω₀t + φ) + $\frac{1}{2}kX^{2}_{m}$ $cos^{2}$(ω₀t + φ) or $ω^{2}_{0}=\frac{k}{m}$

⇒ $E_{M}=\frac{1}{2}kX^{2}_{m}$ $sin^{2}$(ω₀t + φ) + $\frac{1}{2}kX^{2}_{m}$ $cos^{2}$(ω₀t + φ)

$E_{M}=\frac{1}{2}kX^{2}_{m}$[$sin^{2}$(ω₀t + φ)] + $cos^{2}$(ω₀t + φ)]

Donc :

$E_{M}=\frac{1}{2}kX^{2}_{m}$

L’énergie mécanique totale d’un pendule élastique horizontale non amorti reste constante au cours des oscillations. Elle est proportionnelle au carré de l’amplitude.

Exercice 3

Un solide de masse m = 100 g est attaché à l'extrémité libre d'un ressort horizontal de coefficient de raideur k = 100 N/m. L'ensemble peut osciller sur une table à coussin d'air horizontale. On écarte le solide de 10 cm dans le prolongement de l'axe du ressort. En absence de frottement, le solide effectue des oscillations sinusoïdales.

a- Calculer l'énergie mécanique du système solide-ressort.

b- Calculer la vitesse maximale du solide.

Solution :

a-Calculons l'énergie mécanique du système solide-ressort.

* L'énergie mécanique du système solide-ressort horizontal est égale à la somme de l'énergie cinétique du solide et de l'énergie potentielle du ressort :

$E_{M}=E_{c}+E_{p}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$

(Le solide reste à la même altitude. Par conséquent l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre ne varie pas. Elle est nulle si on choisit l'état de référence à l'altitude où évolue le centre d'inertie du solide)

*En absence de frottement l'énergie mécanique du système se conserve.

Calculons E_m lorsque le pendule a son élongation maximale de 10 cm = 0,10 m (la vitesse du solide est alors nulle E_C = 0) donc $E_{M}=E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}$

$E_{M}=\frac{1}{2}$100*0,1² ⇒ E_M= 0,5 J

b-Calculons la vitesse maximale du solide.

Au passage par la position d'équilibre (x = 0 m) l'énergie potentielle du ressort $\frac{1}{2}kx^{2}$ est nulle, l'énergie cinétique est maximale donc $E_{M}=E_{c}=\frac{1}{2}mV^{2}$

$E_{M}=\frac{1}{2}mV^{2}$ ⇒ $V^{2}$ = $\frac{2E_{M}}{m}$ ⇒ $V=\sqrt{\frac{2E_{M}}{m}}$ ⇒ $V=\sqrt{\frac{2*0,5}{0,1}}$

La vitesse est maximale lorsque le solide passe par la position x = 0 dans le sens positif. Donc V = 3,16 $m.s^{-1}$

Donc $V=3,16m.s^{-1}$

Remarque :

On peut représenter chaque type d’énergie sur le graphe suivant :

On peut établir l’équation différentielle du mouvement au moyen de considérations énergétiques en remarquant que l’énergie mécanique du système est conservée en absence de frottements. L’énergie mécanique E est la somme de l’énergie cinétique E_c du solide et de l’énergie potentielle élastique E_p du ressort

$E_{M}=E_{c}+E_{p}=\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}$

La conservation de l’énergie mécanique se traduit par :

$E=Cte$ ⇒$\frac{dE}{dt}$ = $\frac{d(\frac{1}{2}mV^{2}+\frac{1}{2}kx^{2})}{dt}$ = 0

D’où :

$\frac{1}{2}m.2.V.\frac{dV}{dt}+\frac{1}{2}k.2.x.\frac{dx}{dt}$ = 0

$\frac{dV}{dt}=ð‘¥Ìˆ$ et$\frac{dx}{dt}=ð‘¥Ìˆ=V$ l’expression dérivant : $mVð‘¥Ìˆ+kxV=0$

En divisant par mV et en réarrangeant les termes on retrouve l’équation différentielle du mouvement :

$ð‘¥Ìˆ=-\frac{k}{m}x$ ou $ð‘¥Ìˆ+\frac{k}{m}x=0$

EXERCICES D’APPLICATION

On considère un oscillateur horizontal de mase m et de raideur k. Les forces de frottements sont considérées négligeables. La masse m peut se déplacer suivant x’x. L’oscillateur possède une énergie mécanique égale à ð¸_ð‘š=3,6.10⁻³ð½.

1. Donner l’expression de l’énergie mécanique de cet oscillateur en fonction de ð‘¥ ð‘’ð‘¡ ð‘¥Ìˆ
2. En déduire l’équation différentielle du mouvement.
L’amplitude du mouvement est 2,75cm. Déterminer la raideur k du ressort.
La période des oscillations est de 0,6s.
1. Calculer la vitesse de masse m au passage à la position d’abscisse x = 0.
2. L’énergie potentielle de l’oscillateur à l’instant t est ð¸_ð‘ƒ =2.10⁻³ð½. Calculer la vitesse de la masse m à cet instant.

IV. Oscillateurs Amortis (Tle C et E uniquement)

Dans le cas d’existence de frottements, l’oscillateur libre non entretenu est dit amorti. L’amplitude X_mdécroît progressivement et le mouvement devient alors pseudopériodique. L’énergie mécanique diminue.

Un ressort de raideur ð‘˜ est horizontal, une de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité un solide de masse m. Ce solide peut se déplacer le long d'un axe horizontal x’x. Il existe des frottements. On admettra qu'ils se réduisent à une force de type fluide sur solide ð‘“ = −â„ŽV où V désigne la vitesse instantanée du solide. Le coefficient â„Ž est positif.

Détermination de l’équation différentielle Le système de masse m est soumis à 4force : Son poids $\vec{P}$ , la tension $\vec{T}$ du ressort, la réaction $\vec{R}$ et la force $\vec{f}$ de frottement

RFD : $\vec{P}+\vec{T}+\vec{R}+\vec{f}=m\vec{a}$

Projection sur l’axe x’x :

– T – f = ma ⇒ – kx – hV = $m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ ⇒ $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{h}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0 (1)$

Posons $λ=\frac{h}{2m}$ et $ω^{2}_{0}=\frac{k}{m}$ pulsation propre

⇒ $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2λ\frac{dx}{dt}+ω^{2}_{0}x=0$ ou $ð‘¥Ìˆ +2λð‘¥Ìˆ+ω^{2}_{0}x=0$

B. Ã‰quation horaire du mouvement

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ + $2λ\frac{dx}{dt}$ + $ω^{2}_{0}x$ $=0$ (1)

Le mouvement est oscillatoire si le discriminant réduite de l’équation (1) Δ′=$λ^{2} - ω^{2}_{0}$ <0.

Ce régime oscillatoire est dite pseudo-périodique.

La solution générale de l’équation (1) avec Δ<0, s’écrit sous la forme :

$x(t)=X_{m}e^{-λt}cos(Ωt+φ)$. Avec $Ω^{2} = ω^{2}_{0} - λ^{2}$ ⇒ $Ω=\sqrt{ω^{2}_{0} - λ^{2}}$

Les conditions initiales s’écrit : $(t=0)$ = $X_{0}$ et $V(t=0) = x(t=0) = 0$ ⇒ $X_{m}=X_{0}(\frac{Ω}{ω_{0}})$ ⇒ $tanφ=-\frac{λ}{\sqrt{ω^{2}_{0} - λ^{2}}}$

Pseudo –période du mouvement : $T$ = $\frac{2π}{ω}$ = $\frac{2π}{\sqrt{ω^{2}_{0} - λ^{2}}}$ = $\frac{2π}{ω_{0}\sqrt{1-\frac{λ^{2}}{ω^{2}_{0}}}}$ = $\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\frac{λ^{2}}{ω^{2}_{0}}}}$