Chapitre 1: LES ELEMENTS DE CINEMATQUE - Physique-Chimie Terminale D | DigiClass
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LES ELEMENTS DE CINEMATQUE

I.  Repérage d’un point mobile dans l’espace

A.  Référentiels et repères

1.  Le référentiel

Considérons un voyageur assis dans un train en mouvement sur des rails rectilignes.

  • Par rapport au train, le voyageur est au repos.
  • Par rapport aux rails, le voyageur est en mouvement rectiligne.

Le train et les rails sont deux repères différents dans le référentiel Terre. $\textbf{Le mouvement d’un point est donc défini par rapport à un référentiel}$.

Le référentiel est  un  solide  fixe  (système  indéformable)  par  rapport  auquel  on  étudie  le mouvement d’un objet.

$\textbf{Exemples de référentiel}$  :

  • $\textbf{Référentiel terrestre}$ : constitué par la terre ou lié à la terre ;
  • $\textbf{Référentiel  géocentrique}$ : origine  centre  de la  terre,  utilisé pour décrire le mouvement des astres du système solaire ;
  • $\textbf{Référentiel de Copernic ou héliocentrique}$ : origine centre du soleil, utilisé pour l’étude du mouvement des satellites de la terre.

2.  Repère d’espace

L’étude du mouvement d’un point mobile nécessite la connaissance de $\textbf{sa position}$ à $\textbf{chaque instant}$. On définit pour cela un $\textbf{repère d’espace}$ associé au référentiel et un repère de temps. Son origine O et les directions de ses axes sont fixes par rapport au référentiel.

Exemple : $\textbf{R (O, x, y, z)}$ est un repère dans le laboratoire.

3.  Repère de temps

Le temps se mesure avec une horloge. $\textbf{Un instant donné est repéré par sa date mesurée à partir d’un instant choisi comme origine}$. L’unité légale du temps est la seconde (s). Une date est une grandeur algébrique

B.  Vecteur position

La position, à l’instant t, d’un point mobile M peut être repérée de différentes façons

1.  Les coordonnées cartésiennes

Pour étudier le mouvement d’un mobile M dans l’espace, on choisit un repère d’espace (O, $\vec{i} ,\vec{j}, \vec{k}$ ) et on étudie les différentes positions du mobile en fonction du temps. La position du point M est repérée à chaque instant par ses coordonnées cartésiennes x, y et z. Le vecteur instantané $\vec{OM}$ = $x.\vec{i}$ + $y.\vec{j}$ + $z.\vec{k}$  est appelé vecteur position ou vecteur espace du mobile M.

Les coordonnées x, y et z sont fonction du temps. L’ensemble des fonctions  $\left\{\begin{array}{rcr} x & = & f(t) \\ y & = & g(t)\\ z & = & h(t) \\\end{array}\right.$ constitue l’équation horaire du mouvement du mobile M. Ce sont des équations paramétrique du temps.

 

2.  La trajectoire d'un mobile

$\textbf{La trajectoire d’un point mobile est l’ensemble des positions successives qu’il occupe dans un repère donné au cours du temps}$.

$\textbf{L’équation cartésienne}$ de la trajectoire du point mobile s’obtient en éliminant le paramètre temps t des équations horaires.

Remarque :

  • $\textbf{Si la trajectoire est une droite, le mouvement du point est dit rectiligne ; dans le cas contraire, il est curviligne}$.
  • Si la trajectoire est contenue dans un plan, le mouvement du point est plan.

Exercice d’application n°1

Dans un repère orthonormé $\textbf{R (O, \vec{i} ,\vec{j}, \vec{k}$ )}$  , la position d’un point M est donnée à chaque instant par :

$\vec{OM}$ $\left\{\begin{array}{rcr}x & = & 2t \\y & = & 2t^2 + 3\\ z & = & 0 \\\end{array}\right.$  

1) Donner la position de M à t = 2 s.

2) Quelle est l’équation cartésienne de sa trajectoire

Solution :

  1. A t=2s  $\vec{OM}$ $\left\{\begin{array}{rcr}x & = & 4 \\y & = & 19\\ z & = & 0 \\\end{array}\right.$
  2. Equation cartésienne de la trajectoire 

x = 2t ⇒ $\textbf{t=\frac{x}{2}}$ en remplaçant dans y; $\textbf{y=x^2+3}$

3.  L’abscisse curviligne  

Pour une trajectoire curviligne, la position d’un point mobile peut être repérée à chaque instant par son abscisse curvilignes.

L’abscisse curviligne est la valeur algébrique de l’arc (M0M). Elle est notée S et s’exprime de la manière suivante : s = (M0M) et  = mes(M0M).

L’expression s = f(t) est appelé $\textbf{loi horaire du mouvement}$ du mobile M.

II.  Vecteur vitesse

A.  Vecteur vitesse moyenne

Pour un point mobile M passant de la position $M_1$ de date $t_1$ à la position $M_2$ de date $t_2$, le vecteur vitesse moyenne est défini par : $\overrightarrow{V_{m}}$ =  = $\frac{\overrightarrow{M_{1}M_{2}}}{t_2 - t_1}$ = $\frac{\overrightarrow{OM_{2}} - \overrightarrow{OM_{1}}}{t_2 - t_1}$ = $\frac{Δ(\vec{OM})}{Δt}$ = $\frac{Δx}{Δt}.\vec{i}$ + $\frac{Δy}{Δt}.\vec{j}$ + $\frac{Δz}{Δt}.\vec{k}$

B.  Vecteur vitesse instantanée

Le vecteur vitesse d’un point mobile M à la date t est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position : $\vec{V}=\frac{d(\vec{OM}}{dt}$

C.  Expression du vecteur vitesse

Soit $\vec{OM}$ = $x.\vec{i}$ + $y.\vec{j}$ + $z.\vec{k}$ vecteur position du point mobile M. ⇒

NB : Le vecteur v est toujours tangent à la trajectoire du mobile au point considéré, et orienté dans le sens du mouvement.

La norme ou module du vecteur vitesse : $||\vec{v}||$ = $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. L’unité S.I de la vitesse est m.$s^{-2}$ mais on utilise aussi km.$h^{-1}$.

Exercice d’application n°2

Soit le point mobile M en mouvement dans un repère orthonormé

Tel que son vecteur-position est : $\vec{OM}$ = $2t.\vec{i}$ + $(4t^2 + 3)\vec{j}$ + $2.\vec{k}$

1) Déterminer les coordonnées de la vitesse du point M à l’instant t.

2) Donner la valeur de la vitesse du point M à la date t = 2 s.

Solution :

  1. les coordonnées de la vitesse du point M à l’instant

   

     2. la valeur de la vitesse du point M à la date t = 2 s

 La norme $V$ = $||\vec{V}||$ = $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ = $\sqrt{2^2 + (8t)^2 + (0)^2}$ ⇒ $V=\sqrt{64t^2 + 4}$        

  • Vecteur vitesse et abscisse curviligne

$V=\frac{ds}{dt}=s$, s étant l’abscisse curviligne

III.  Accélération

A.  Définition

L’accélération est une grandeur physique qui caractérise la variation de la vitesse au cours du temps. Le vecteur accélération $\vec{a}$ d’un mobile M est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse  du mobile M. 

Soit $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2(\vec{OM})}{dt^2}$

B.  Vecteur accélération et coordonnées cartésiennes

Dans le repère (O, $\vec{i} ,\vec{j}, \vec{k})$, l’accélération du point M peut s’écrire : $\vec{a}$ = $\frac{dV_x}{dt}.\vec{i}$ + $\frac{dV_y}{dt}.\vec{j}$ + $\frac{dV_z}{dt}.\vec{k}$ = $\frac{d^{2}x}{dt^2}.\vec{i}$ + $\frac{d^{2}y}{dt^2}.\vec{j}$ + $\frac{d^{2}z}{dt$2}.\vec{k}$ =          

Son module a s’exprime en m.$s^{-2}$ et égal à : $||\vec{a}||$ = a = $\sqrt{}$

 

C.  Vecteur accélération et base de FRENET

La base de FRENET est constituée de deux vecteurs unitaires orthogonaux $\vec{t}$ et $\vec{n}$  

$\vec{t}$: est tangente à la trajectoire au point où se trouve le mobile et orienté dans le sens du mouvement.

$\vec{n}$: est orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.

  • Le vecteur accélération $\vec{a}$ s’oriente toujours vers la partie concave  de la trajectoire.
  • Dans la base de FRENET, $\vec{a}$ possède deux composantes : l’une colinéaire au vecteur vitesse $\vec{V}$  et appelée vecteur accélération tangentielle, elle se note : $\vec{a}_t$; l’autre, perpendiculaire à $\vec{V}$ ou normale à la trajectoire, et appelée vecteur accélération normale, se note : $\vec{a}_n$.    D’où : $\vec{a}$ = $\vec{a}_t$ + $\vec{a}_n$ 

   

  • L’accélération tangentielle caractérise la variation du module de la vitesse $\vec{V}$ : $\vec{a}_t$ = $\frac{dV}{dt}.\vec{t}$
  • L’accélération normale $\vec{a}_n$ caractérise la variation de la direction du vecteur $\vec{V}$ : $\vec{a}_n$ = $\frac{V^2}{R}.\vec{n}$ où R est le rayon de courbure de la trajectoire du mobile.

NB : Dans le cas d’une trajectoire circulaire, R est une constante.

Exercice d’application n°3

La position d’un mobile M est donnée par : $\vec{OM}$ $\left\{\begin{array}{rcr}x & = & t^2 + 3 \\y & = & 3t - 2 \\\end{array}\right.$ ; t≥0

  1. Calculer le module du vecteur vitesse du mobile à la date t = 2s.
    1. Déterminer les modules des composantes et  de l’accélération  du mobile en fonction du temps t.
    2. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire à la date t = 2s.
    3. Le mouvement du mobile est – il circulaire ? Justifier votre réponse.

Solution

  1. Module du vecteur vitesse à t = 2s.

On a :

$\vec{v}$ = $\frac{d(\vec{OM}}{dt}$ =  $\frac{dx}{dt}.\vec{i}$ + $\frac{dy}{dt}.\vec{j}$ d’où  $\vec{V}$ $\left\{\begin{array}{rcr}x & = & 2t \\y & = & 3 \\\end{array}\right.$ ⇒ $||\vec{V}||$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$ ⇒ $||\vec{V}||$ = $\sqrt{4t^2 + 9m.s{-1}}$

A t  = 2s on a V = $\sqrt{4*4+9}$ = $5m.s{-1}$

    1. Module des composantes et  de l’accélération  

$\vec{a}_t$ = $\frac{dV}{dt}.\vec{t}$  donc $\vec{a}_t$ = $\frac{dV}{dt}$ = $\frac{8t}{2\sqrt[2]{4t^{2} + 9}}$ ⇒ $a_{t}$ = $\frac{4t}{\sqrt{4t^{2} + 9}}$ ($m.s^{-2}$)

Or $a^2$ = $a^{2}_{t}$ + $a^{2}_{n}$  =     ⇒  $a^{2}_{n}$ =  +$a^{2}_{t}$    $a^{2}_{n}$ = 4 – $\frac{16t^2}{4t^2 + 9}$    $a_{n}$ = $\frac{6}{\sqrt{4t^2 + 9}}$ d’où

$\vec{a}$ $\left\{\begin{array}{rcr}a_{t} & = & \frac{4t}{\sqrt{4t^{2} + 9}} \\y & = & \frac{6}{\sqrt{4t^{2} + 9}} \\\end{array}\right.$

$\vec{a}$ $\left\{\begin{array}{rcr}a_t & = & \frac{16t^2}{4t^2 + 9} \\a_n & = & \frac{6}{\sqrt{4t^2 + 9}}\\\end{array}\right.$

  1. Le rayon de courbure

On a $a_{n}$ = $\frac{V^2}{R}$   et   R = $\frac{V^2}{a_{n}}$ ⇒  R = $\frac{1}{2}\sqrt{(4t^2 +9)^3}$  à   t = 2s  on a R = 20,83 m.

  1. Le mouvement n’est pas circulaire. Car R = f(t).

Remarque

  • Si on connaît les équations horaires du mouvement, on obtient les vecteurs vitesse et accélération par dérivation.

 

  • Si on connaît l’accélération du mouvement, on obtient les vecteurs vitesse et position par intégration (primitive).

D.  Mouvements accélérés, retardés, uniformes

1.  Mouvement accéléré

Un mouvement est dit accéléré quand la valeur de la vitesse croît au cours du temps. On a donc : $\vec{a}.\vec{b} > 0$

2.  Mouvement retardé

Un mouvement est dit retardé  quand la valeur de la vitesse décroît au cours du temps. On a donc : $\vec{a}.\vec{b} < 0$

3.  Mouvement uniforme

Un mouvement est dit uniforme quand la valeur de la vitesse est constante. On a donc : $\vec{a}.\vec{b} = 0$

IV.  Etude cinématique de quelques mouvements

A.  Mouvement rectiligne uniforme

1.  Définition

Dans un repère donné un mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniforme si la trajectoire est une droite et  la vitesse est constante, autrement dit ${a}=0$.

2.  Caractéristiques d’un mouvement rectiligne uniforme

On étudie dans un repère à une dimension supportant la trajectoire, par exemple le repère (O,  ) d’axe (O, x) ; dans ce repère,  , x étant l’abscisse de M.

  • L’équation horaire du mouvement s’écrit : x = $V_0(t – t_0) + x_0 $ où $t_0$ est l’instant de départ du mobile M , $V_0$ est la vitesse initiale (elle est constante) et $x_0$ est l’abscisse de la position $M_0$ de M à l’instant initial $t_0$.

Lorsque $t_0 =$ 0, on peut écrire :  x = $V_{0}t + x_0$.

  • L’espace parcouru entre $t_0$ et t est la grandeur : x – $x_0$ = $V_0 (t – t_0)$
  • $\vec{a}. \vec{v} =0$           $\vec{a} = \vec{0} $   et $\vec{V}$= $\vec{cte}$

Exercices d’application n°4

Exercice 1

Les équations paramétriques du mouvement d’un point matériel M sont données (en S.I) par :

$\vec{OM}$ $\left\{\begin{array}{rcr}x & = & 2t -3 \\y & = & 3t - 2 \\z & = & 0 \\\end{array}\right.$

Montrer que le mouvement du point M est rectiligne uniforme.

Solution

Nature du mouvement

De $x=4t - 3$; $t=\frac{x+3}{4}$ et $y=\frac{3}{4}x + \frac{1}{4}$  est de la forme $y=ax+b :$ équation d’une droite, d’où le mouvement est rectiligne.

De plus, on a : $V=\sqrt{x^2 + y^2}$ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = $5m.s{-1}$ V ≠ 0   donc le mouvement du mobile est rectiligne uniforme.

 

Exercice 2

Un mobile M1 ponctuel est animé d’un mouvement rectiligne sur un axe x’Ox orienté de gauche à droite. On $x_1$ son abscisse (en m) en fonction du temps (en s) : $x_1$ = $-15t + 20$.

  1. Montrer que le mouvement est uniforme.
  2. Quelle est la vitesse algébrique du mobile et dans quel sens se déplace – t – il ?
  3. Un mobile $M_2$ part, à l’instant t = 0, du point d’abscisse –80 m, et se dirige sur la même droite, avec une vitesse constante, de valeur algébrique égale à 10 $m.s{-1}$. Quelle est l’équation horaire du mouvement du mobile $M_2$ ?
  4. Déterminer l’abscisse et la date du croisement de ces deux mobiles ?

Solution

  • A deux instant $t_1$ et $t_2$ quelconques, on a :

$t_1$ : $x_{1}(t_1)$ = $-15t_1 + 20$

$t_2$ : $x_{2}(t_2)$ = $-15t_2 + 20$

$\frac{|x_{2}(t_2) - x_{1}(t_21)|}{t_2 - t_1}$ = $|-15|$  = $C^{te}$ ≠ 0

Le mouvement est donc uniforme puisque la vitesse moyenne est une constante différente de zéro.

  • La vitesse moyenne algébrique du mobile est le coefficient directeur de la droite $x_1$ = $f(t)$ d’où =  - 15 $m.s^{-1}$. De plus, le mobile se déplace de droite vers la gauche sur l’axe orienté (x’Ox).
  • Par définition, l’équation horaire est de la forme : $x_{2}(t)$ = $V_{m_{2}}.t$ + $x_{2}(0)$ à t = 0, $x_{2}(0)$ = $-80 m$.

De plus, quel que soit t,  = $C^{te}$ = 10 $m.s^{-1}$ d’où $x_{2}(t)$ = $10t – 80$.

  • Lors du croissement, on a : $x_{1}(t)$ = $x_{2}(t)$, soit : $-15t + 20$ = $10t – 80$      $t = 4s$.

L’abscisse du point de croissement est $x_{1}(4)$ = $x_{2}(4)$ = $-40 m$.

B.  Mouvement rectiligne uniformément varié

1.  Définition

Un mouvement rectiligne uniformément varié est caractérisé par deux conditions :

  • La trajectoire est une droite ou une portion de droite.
  • L’accélération a = $c^{te}$ ≠ 0
  • Si $\vec{a} .\vec{V}$ > 0, le mouvement est accéléré.
  • $\vec{a} .\vec{V}$ < 0, le mouvement est retardé

2.  Caractéristiques du mouvement rectiligne uniformément varié

Lorsqu’on étudie dans le repère (O, $\vec{i}$) porté par axe (O, x) on a : $\vec{OM}$= $x.\vec{i}$. ;  $\vec{V}$= $x.\vec{i}$ et  $\vec{a}$= $x.\vec{i}$

  • Les équations horaires du mouvement sont : a = $c^{te}$ ≠ 0 ;

$V=a(t-t_0)+V_0$

$x=\frac{1}{2}a(t-t_0)^2$ + $V_{0}(t-t_0)$ + $x_0$

$V_0$ est la vitesse initiale à t = 0.                 $x_0$ est l’abscisse du mobile à t = 0.

Remarque

Lorsque  $t_0$ = 0, on a : V = at + $V_0$; x = $\frac{1}{2}at^2$ + $V_{0}t$ + $x_0$

De plus si $V_0$= 0 et $x_0$ = 0 à $t_0$ = 0 on a :

V = at ;          x = $\frac{1}{2}at^2$  ;                 $V^2$ = 2ax

  • Relation entre x et V :

($t-t_0$) = $\frac{v-v_0}{a}$ en replaçant dans l’expression de x on tire $(V^2 - V^{2}_{0})$ = $2a_x(x-x_0)$

Exercices d’application n°5

Exercice 1

La position d’un mobile M est donnée par $\vec{OM}$ $\left\{\begin{array}{rcr}x & = & 2t \\y & = & -5t^2 - 4t \\z & = & 0 \\\end{array}\right.$  avec t ≥ 0.

  1. Donner l’équation et la nature de la trajectoire.
  2. Déterminer le vecteur vitesse du mobile M et son module :
    1. Lorsqu’il passe par le sommet de sa trajectoire
    2. Lorsqu’il repasse par le plan y = 0 ;
    3. A la date t = 5s
  3. Déterminer le vecteur accélération de M et conclure.

Solution

  1. Equation de la trajectoire

De x = 2t , on tire t = $\frac{x}{2}$  d’où $y=-\frac{5}{4}x^2 + 2x$

La trajectoire est une parabole car l’équation est de la forme : y = $ax^2+ bx + c$.

  1. Vitesse du mobile

 $\vec{V}$ = $x.\vec{i}$ + $y.\vec{j}$ = $2.\vec{i}$ + $(4-10t)\vec{j}$

  1. Au sommet de la trajectoire,$y=0$ , donc  ; $\vec{V}$ = $2.\vec{i}$ V = 2$m.s^{-1}$
  2. Au passage par le plan y = 0, t = 0,8 s et $\vec{V}$ = $2.\vec{i} - 4\vec{j}$  ; V = 4,47$m.s^{-1}$
  3. A la date t = 5 s ; $\vec{V}$ = $2.\vec{i} - 46\vec{j}$ ; V = 46,04 $m.s^{-1}$
  4. Vecteur accélération

$\vec{a}$ = $x.\vec{i}$ + $y.\vec{j}$ ; $\vec{a}$ = $-10\vec{j}$

Conclusion : l’accélération est constante en direction, sens et intensité.

Exercice 2

Un voyageur en retard court le long du quai à la vitesse constante V= 6 $m.s^{-1}$. Quand il est à 20m du dernier wagon du train qui démarre avec une accélération constante a = +1$m.s^{-2}$ (le train et le voyageur ont des trajectoires rectilignes parallèles).

  1. Définir le repère dans lequel le mouvement est étudié. Préciser su le schéma les positions, les dates et les vitesses connues.
  2. Ecrire dans un même repère les équations horaires du voyageur et du dernier wagon considérés comme des points matériels.
  3. Montrer que le voyager ne peut pas rattraper le train.
  4. Quelle sera la distance minimale entre le voyageur et le dernier wagon?

Corrigé

  1. Pour t = 0 lorsque le train démarre; $X_0$ = 0 position du dernier wagon
  2. Abscisse voyageur $x_{1}$ = $6t-20$

Abscisse dernier wagon $x_2$ = $\frac{1}{2}at^2$ = $\frac{1}{2}t^2$

  1. Si le voyageur rattrape le train : $x_1$ = $x_2$ ; $\frac{1}{2}t^2 - 6t + 20$ = $0$

Δ = 36-40, est négatif donc il n'y a pas de solution à notre équation ;  Le voyageur ne rattrapera jamais le train.

  1. Distance entre le dernier wagon et le voyageur : $x_2 - x_1$ = $\frac{1}{2}t^2 - 6t + 20$

Cette distance est minimale lorsque la dérivée par rapport au temps de cette fonction s'annule.

t  -  6 = 0 ; t = 6 s.     x2 - x1 .6² - 6.6 + 20 = 2 m

C.  Mouvement circulaire uniforme

1.  Définition

Un mobile M est animé d’un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est un cercle ou une portion de cercle  et sa vitesse reste constante.

2.  Repérage de la position du mobile

  • Repérage par l’abscisse curviligne

S = mes() = Rθ

  • Repérage par les coordonnées cartésiennes de M  

$x = R.cosθ$        $y = R.sinθ$

3.  Vitesse du mobile

La vitesse en M :

  • Direction : tangente au cercle
  • Sens : celui du mouvement
  • Norme : V = cte

On a $s=Rθ$ et $V=\frac{ds}{dt}$ = $\frac{d(Rθ)}{dt}$ = $R\frac{dθ}{dt}$ Posons $ω=\frac{dθ}{dt}=$ vitesse angulaire en rad.$s^{-1}$  $V=Rω$

4.  L’équation horaire du mouvement

$θ=ωt+θ_0$

Vecteur position en coordonnées cartésienne : $\vec{OM}$ $\left\{\begin{array}{rcr}x & = & Rcos(ωt + θ_0) \\ y & = & Rsin(ωt + θ_0) \\\end{array}\right.$

Vecteur vitesse : $\vec{V}$ $\left\{\begin{array}{rcr}V_x & = & \frac{dx}{dt} = -Rωsin(ωt + θ_0) \\ V_y & = & \frac{dy}{dt} Rωcos(ωt + θ_0) \\\end{array}\right.$

Accélération du mobile : $\vec{a}$ $\left\{\begin{array}{rcr}a_x & = & \frac{dVx}{dt} = -Rω^2cos(ωt + θ_0) \\ a_y & = & \frac{dVy}{dt} Rω^2sin(ωt + θ_0) \\\end{array}\right.$ or $\vec{a}$ = $-ω^2(Rω^2cos(ωt + θ_0)\vec{i} + Rω^2sin(ωt + θ_0)\vec{j})$ = $-ω^2\vec{OM}$

Exercices d’application :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé xOy d'origine O et de base ( $\vec{i}\vec{j}$ )  . Les coordonnées s et y d'un point M mobile dans le plan (O, $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ )  varient avec le temps suivant :

$\vec{OM}$ $\left\{\begin{array}{rcr}x & = & 2cos\frac{1}{2}t \\ y & = & 2sin\frac{1}{2}t \\\end{array}\right.$

  1. Déterminer la nature de la trajectoire.
  2. Déterminer les composantes du vecteur vitesse $\vec{V}$ .
  3. Déterminer l'expression de la vitesse $\frac{ds}{dt}$ ainsi que de l'abscisse curviligne s du point M à l'instant t, en prenant comme condition initiale s=0 quand t=0
  4. Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
  5. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire

Solution

  1. La nature de la trajectoire.

La trajectoire s’obtient en éliminant    temps  entre les deux équations paramétriques :  $x^2 +  y^2$ = $4 cos^2(0,5t) + 4 sin^2(0,5t) = 4$                

La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R = 2

  1. Les composantes du vecteur vitesse .

Les composantes du vecteur vitesse s’obtient en dérivant x et y par rapport au temps :

$V_x = 2 * 0,5 (-sin(0,5t) )=  -sin(0,5t)$                      $V_y= 2 * 0,5cos(0,5t) = cos(0,5t)$

  1. Déterminons l'expression de la vitesse ainsi que de l'abscisse curviligne s du point M à l'instant t

La valeur numérique de la vitesse

$V^2$ = $V^{2}_{x} +  V^{2}_{y}$  = $sin^2(0,5t)$ + $cos^2(0,5t)$ = $1 m.s^{-1}$

Abscisse curviligne s : intégrer V :

 s = t + cte  or à t  = 0, s = 0 d’où s = t.

  1. Les composantes du vecteur accélération s’obtient en dérivant $V_x$ et $V_y$ par rapport au temps :

$a_x$ = $0,5cos(0,5t)$          $a_y = -0,5sin(0,5t)$

$a^2$ = $a^{2}_{y}$ +   $a^{2}_{y}$ = $0,25 m.s^{-2}$

Dans la base de Frenet :

Accélération tangentielle : $a_t$= $\frac{dv}{dt}$ = 0   (car V = 1 = cte);

Accélération normale :    or    $a_T$ = $a^{2}_{N}$ + $a^{2}_{T}$ = 0 d’où   a = $a_N$ ;   $a_N$ = $0,5 m.s^{-2}$

  1. Rayon de courbure

$a_N$ = $\frac{V^2}{R}$ soit $R$ = $\frac{V^2}{a_N}$  $R=2cm$