Les Solides
I. Rappel
A. Cône de révolution
Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit.
Cône de révolution
$S_{base}=\pi R^2$
$V_{cône}=\frac{S_{base} \times h}{3}=\frac{\pi R^2 \times h}{3}$
B. la pyramide
Les pyramides sont des solides ayant :
- des faces latérales qui sont des triangles
- une base polygonale (triangle ; carré ; …..)
Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier (figure ayant les côtés égaux et inscriptible dans un cercle).
Dans une pyramide régulière la hauteur passe par le centre du cercle circonscrit.
II. Application du théorème de Pythagore
Considérons la pyramide régulière (Base triangle équilatéral de côté 8 cm)
1)En utilisant la trigonométrie dans le triangle GIH rectangle en I ; exprimer cos $\widehat{IHG} $ en fonction de $ GI$ et $GH $.
2) $(GJ)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{IGE} $ . En dédiure la mesure de $\widehat{IGH}$.
3)Sachant que $\cos 30°\frac{\sqrt{3}}{2}$ déduire que $GH= \frac{8 \sqrt{3}}{3}$.
4)En utilisant le triangle $TGH$ rectangle en $H $; montrer que $TH =\frac{2 \sqrt{33}}{3}$.
Réponse
1) $IG=\frac{8}{2}=4$ ; exprimons $ \cos \widehat{IGH}$ en fonction de$ IG $ et de $ HG$ :$\cos\widehat{IGH} =\frac{IG}{HG}$ .
2)Déduisons la mesure de l’angle $\widehat{IGH}$ :$\widehat{IGH}=\frac{\widehat{IGE}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$.
3)Déduisons que $GH= \frac{8 \sqrt{3}}{3}$.
$\cos $ $\widehat{IGH}$ $=\frac{IG}{HG}$ $ \longrightarrow$ $ HG=\frac{IG}{\cos \widehat{IGH}}=$ $ \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.
4) Montrons que $TH=\frac{2\sqrt{33}}{3}$.
$TGH$ est un triangle rectangle en $H$ alors: $GH^{2}+HT^{2}=TS^{2}$
$HT^{2}$$=TS^{2}-GH^{2}\\=6^{2}-(\frac{ 2\sqrt{33}}{3})^2\\=36-\frac{192}{9}\\=\frac{324-192}{9}\\=\frac{132}{9}$
donc
$TH=\frac{2\sqrt{33}}{3}$
III. Application du théorème de thalès
On considère le cône de rayon $r=9cm$ de hauteur $SH=6cm$ de sommet $S$.
Soit $H’$ un point de $[SH]$ tel que $HH’ =\frac{1}{3}SH$ et $A’$ un point de $[AS]$ tel que $(AH) //(A’H’) $
Calculer $SH’$ et $A’H’$.
Réponse
$SH’A’$ et $SHA$ forment une configuration de Thalès, alors $\frac{SA'}{SA}=\frac{SH'}{SH} =\frac{A'H'}{AH} $
Calculons $SH’$ :
$SH’$$= SH–H’H\\=6–2$
$SH’=4$
Calculons $A’H’ $:Â
$\frac{A'H'}{AH}=\frac{SH'}{SH}$;
$A'H'=\frac{SH'}{SH}$ X $AH;$
$A’H’$$=\frac{4}{6}\times 9\\=6$
alors
$A’H’=6$