Fonctions Rationnelles
I. Activité
Soit $f: R\rightarrow R$
$X\longmapsto f(x)=\frac{2x+5}{x-3}$.
Compléter le tableau suivant:
| $x$ | -1 | 0 | $\sqrt{3}$ | 3 | 4 |
| $f(x)$ | $-\frac{3}{4}$ | $-\frac{5}{3}$ | $-\frac{-21-11\sqrt{3}}{6}$ | $\frac{11}{0}$= $F.I$ | 13 |
L'image de -1 par $f$ est $\frac{-3}{4} $.
Calculer l'image de -1, consiste à remplacer $x$ par -1 dans $f(x)$. Ainsi on a : $f($-1$)=\frac{2(-1)+5}{(-1)-3}$
3 n'a pas d'image par f
4 est l'antécédent par f de 13
La fonction $ f(x)= \frac{2x+5}{x-3}$ n'existe que si $x\not= 3$.
II. Définition
Soit f et g deux applications polynômes.
La fonction h définie par $h(x)= \frac{f(x)}{g(x)}$ est appelée une fonction rationnelle.
Une fonction rationnelle est donc le quotient de deux applictions polynômes.
$K(x)=\frac{7x+1}{x+4}$ ; $q(x)=\frac{4x^2+4x+1}{2x+1}$
III. Ensemble de définition d'une fonction rationnelle
L’ensemble de définition ou domaine de définition d’une fonction rationnelle est un sous-ensemble de $R$ dans lequel la fonction existe ou la fonction a un sens .
Exemple : Soit $f(x)=\frac{5x+3}{3x+7}$
$f(x)$ existe si le dénominateur $3x+7\neq 0$ signifie $x\neq \frac{-7}{3}$.
On note ensemble de défintion de $f:D_f$
$D_{f}=R\setminus ]{\frac{-7}{3}}[$ qui se lit $R$ privé de $\frac{-7}{3}$
Exercice d’application
Trouver l’ensemble de définition des fonctions suivantes::
$G(x)=\frac{3x+1}{(2x+5)(x-2)}$; $H(x)=\frac{(x+5)(4x+9)}{16-4x^2}$; $K(x)=\frac{3x^2+2x+2}{4x^2-8x+4}$
IV. Simplification de l'expression d'une fonction rationnelle
Soit $f(x)=\frac{(x+1)(2x-3)}{(4-x)(x+1)}$:
$f(x)$ existe si et seulement si $(4-x)(x+1)\neq0$
$(4-x)(x+1)\neq0$$ \Longleftrightarrow 4-x\neq0 \; et \; x+1\neq0 \\ \Longleftrightarrow x\neq4 \; et \; x\neq-1\\ D_{f}=R\setminus ]{-1; 4}[$
Sur $D_{f}$ on a $f(x)=\frac{(x+1)(2x-3)}{(4-x)(x+1)}=\frac{2x-3}{4-x}$
On dit qu'on a simplifié $f$ sur $D_{f}$.
V. Images et antécédents
Soit $f(x)=\frac{x+4}{2x+5}$ ; $g(x)=\frac{3x+2}{2x+1}$
1) Calculer les images par f des réels -1 et 3 c'est à dire Calculer $f($-1$)$ et $f($3$)$.
2) Calculer l’antécédent par g du réel 0 et 1 c'est à dire Calculer $f(x)$= 0 et $f(x)$= 1.