Rapport de Projection
I. Définition du rapport de projection
A. Activité
Tracer deux droites (D) et (D’) sécantes en $I$ et une droite (d) qui n’est ni parallèle à (D) ni parallèle à (D').
Choisir les points $A$ ; $B$ ; $C$ sur (D) tel que $IA= 2cm$ ; $IB=3cm$ ; $IC=5cm$ et construire les points $A’$ ; $B’$ et $C’$ les projetés respectifs de $A$ ; $B$ ; $C$ sur (D’) parallèlement à (d).
Calculer : $\frac{IA'}{IA}$; $\frac{IB'}{IB}$; $\frac{IC'}{IC}$ et les comparer.
Réponse
$\frac{IA'}{IA}$= $\frac{1,3}{2}$= 0,65 ; $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{2}{3}$= 0,66 ; $\frac{IC'}{IC}$= $\frac{3,3}{5}$=0,66 on remarque que $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{IC'}{IC}$= 0,66.
B. Définition
Soit p la projection de (D) sur (D’) parallèlement à (d). A ; B ; C sont des points sur (D).On note A’=p(A) ; B’=p(B) C’=p(C) et $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{IC'}{IC}$=k. Le réel k est appelé le rapport de projection de (D) sur (D’) parallèlement à (d).
Exercice d’application
Soit ABC un triangle tel que AB=8cm BC= 6cm AC=4cm
1)Faire une figure et calculer le rapport de projection de (AB) sur (AC) parallèlement à (BC).
2)Calculer le rapport de projection de (AB) sur (BC) parallèlement (AC).
II. Rapport de projection orthogonale
A. Défnition du rapport de projection orthogonale
1. Activité
Tracer deux droites (D) et (D’) sécantes en I.
Choisir les points A ; B ; C sur (D) tel que IA= 3cm ; IB=5cm ; IC=7cm et construire les points A’ ; B’ et C’ les projétés orthogonaux respectifs de A ; B ; C sur (D’)
Calculer :$\frac{IA'}{IA}$ ; $\frac{IB'}{IB}$ ; $\frac{IC'}{IC}$ et les comparer.
Réponse:
$\frac{IA'}{IA}$ =$\frac{2,26}{3}$= 0,75 ; $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{3,78}{5}$=0,75 ; $\frac{IC'}{IC}$= $\frac{5,28}{7}$= 0,75 on remarque que $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{IC'}{IC}$= 0,75
2. définition
Soit p le projeté orthogonal de (D) sur (D’) . A ; B ; C sont des points sur (D).
On note A’=p(A) ; B’=p(B) C’=p(C) et $\frac{IA'}{IA}$= $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{IC'}{IC}$=K .
Le réel k est appelé le rapport de projection orthogonal de (D) sur (D’).
B. Propriété du rapport de projection orthogonale
1. Activité
Dans l’activité précédente, calculer k le rapport de projection orthogonale de (D) sur (D’) et k’ le rapport de projection orthogonale de (D’) sur (D).Comparer k et k’.
K=$\frac{IA'}{IA}$= $\frac{2,26}{3}$= 0,75 = $\frac{IB'}{IB}$= $\frac{3,75}{5}$= 0,75 = $\frac{IC'}{IC}$= $\frac{5,28}{7}$= 0,75
K'=$\frac{IA''}{IA'}$= $\frac{1,74}{2,26}$= 0,75 = $\frac{IB''}{IB'}$= $\frac{3}{3,78}$= 0,75 = $\frac{IC''}{IC'}$= $\frac{3,98}{5,28}$= 0,75
on a k=k'
2. Propriété
(D) et (D’) étant deux droites sécantes du plan , le rapport de projection orthogonale de (D) sur (D’) est égal au rapport de projection orthogonale de (D’) sur (D) .