Relation Trigonométrique dans un triangle rectangle
I. Définitions
A. Cosinus d’un angle aigu
1. Activité
1)Soit deux demi-droites [ox) et [Oy) ; placer un point B sur [Ox) et construire son projeté orthogonal A sur [Oy)
a)$\hat{XOY}$=40°
b)$\hat{XOY}$=60°
2)Mesurer 0A et OB dans chaque cas et calculer le rapport de projection orthogonal de (OB) sur (OA) k=$\frac{OA}{OB}$
On remarque que le rapport k=$\frac{OA}{OB}$ dépend de l’angle $\hat{AOB}$. Ce rapport est appelé cosinus de l’angle $\hat{AOB}$ .
2. Définition
ABO est un triangle rectangle en A.
On appelle cosinus de l'angle $\hat{AOB}$ le réel $\frac{OA}{OB}$. On note cos$\hat{AOB}$=$\frac{OA}{OB}$
[OA] est appelé le côté adjacent de l’angle $\hat{AOB}$
$\cos\hat{AOB}=\frac{côté\; adjacent}{Hypotenus}=\frac{OA}{OB}$
Remarque
-si $\hat{AOB}$=0° alors AO=OB cos0°=1
-si $\hat{AOB}$=0° alors AO=0 donc cos90°=0
B. sinus d’un angle aigu
(Calculer le rapport de (OB) sur (AB). k’=$\frac{AB}{OB}$ dans l’activité précédente)
ABO est un triangle rectangle en A.
On appelle sinus de l'angle $\hat{AOB}$ le réel $\frac{AB}{OB}$. On note sin$\hat{AOB}$=$\frac{AB}{OB}$
[ AB] est appelé le côté opposé de l’angle $\sin\hat{AOB}$
$\sin\hat{AOB}$=$\frac{côté\; opposé}{Hypotenuse}$=$\frac{AB}{OB}$
Remarque
-Si $\hat{AOB}$=0° alors AB=0 donc sin0°=0
-Si $\hat{AOB}$=90° alors AB=OB donc sin90°=1
C. Tangente d’un angle aigu
(Calculer le rapport de (OA) sur (AB) parallèlement à (OB). k’’=$\frac{AB}{OA}$
dans l’activité précédente)
ABO est un triangle rectangle en A. On appelle tangente de l'angle $\hat{AOB}$ le réel $\frac{AB}{OB}$. on note tan$\hat{AOB}$=$\frac{AB}{OB}$
Alors tan$\hat{AOB}$=$\frac{côté opposé}{côté adjacent}$=$\frac{AB}{OA}$
Remarque
-Si $\hat{AOB}=0°$ alors $AB=0$ donc $tan0°=0$
-Si $\hat{AOB}=90°$ alors $OA=0$ donc $tan90°$ n’existe pas
Exercice d’application
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=4 ; AC =3 ; BC= 5$
Calculer cos$\hat{B}$ ; sin$\hat{B}$ ; tan$\hat{B}$ ; cos$\hat{C}$ ; sin$\hat{C}$ ; tan$\hat{C}$
II. Propriété
A. Relations entre sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu
Soit ABC un triangle rectangle en C(figue ci-dessus)
1)Trouver cos$\hat{A}$ ; sin$\hat{A}$ et tan$\hat{A}$ en fonction de a ; b ; c
2)calculer $\frac{sinA}{cosB}$ que remarque t-on ?
3)calculer cos2A ; sin2A ; et cos2A + sin2A
cos$\hat{A}$=$\frac{b}{c}$ ; sin$\hat{A}$=$\frac{a}{c}$ ; cos$\hat{A}$=$\frac{a}{b}$
2)Calculons $\frac{sinA}{cosB}$
$\frac{sinA}{cosB}$=$\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}$= $\frac{a}{c}$ x $\frac{c}{b}$=$\frac{a}{b}$
On remarque que tan$\hat{A}$=$\frac{sin\hat{A}}{cos\hat{A}}$=$\frac{a}{b}$
3)Calculons
(cos$\hat{A}$)2=cos2 $\hat{A}$ = $(\frac{b}{c})^2$=$\frac{b^2}{c^2}$ ; sin2 $\hat{A}$=($\frac{a}{c}$)2=$\frac{a^2}{c^2}$
cos2 $\hat{A}$ + sin2 $\hat{A}$ = $\frac{b^2}{c^2}$ + $\frac{a^2}{c^2}$ = $\frac{b^2 + a^2}{c^2}$ comme $c^2=b^2 + a^2$ (car ABC est un triangle rectangle en C)
on a : cos2$\hat{A}$ + sin2 $\hat{A}$ = $\frac{c^2}{c^2}$ = 1
| cos2 $\hat{A}$ + sin2 $\hat{A}$ =1 |
Conclusion
Pour tout angle aigu $\hat{A}$ on a :
| cos2 $\hat{A}$ + sin2 $\hat{A}$ =1 ; tan$\hat{A}$=$\frac{sin\hat{A}}{cos\hat{A}}$ ($\hat{A}$≠90°) |
B. Valeurs remarquables
Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A
1)Calculer BC
2)Calculer cos$\hat{B}$ ; sin$\hat{B}$ ; tan$\hat{B}$
| $cos\hat{B}=\frac{a}{b}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ alors $cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $tan\hat{B}=\frac{sin\hat{B}}{cos\hat{B}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ |
Alors
| $sin\hat{B}=\frac{a}{b}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
Alors $sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$BC^2=AB^2+AC^2$
$b^2=a^2+a^2$
$b^2=2a^2$
$b=\sqrt{2a^2}$
$b=2\sqrt{2a}$
Tableau Récapitulatif
| $\hat{A}$ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| $sin\hat{B}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| $cos\hat{B}$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |
| $tan\hat{B}$ | 0 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | n'existe pas |
Formules
$\cos\hat{B}=\frac{Côté\; adjacent}{Hypoténuse}=\frac{BC}{BA}$
$\sin\hat{B}=\frac{Côté \;opposé}{Hypoténuse}=\frac{AC}{BA}$
$\tan\hat{B}=\frac{Côté \;opposé}{Côté\; adjacent}=\frac{AC}{BC}$
$\cos^2\hat{B}+\sin^2\hat{B}=1$
$\tan\hat{B}=\frac{\sin\hat{B}}{\cos\hat{B}}\;(\hat{B} \ne 90^o)$
$\cos\hat{B}=\sin\hat{A}$ ; $\cos\hat{A}=\sin\hat{B}$;