Chapitre 6: LE MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME - Physique-Chimie Terminale D | DigiClass
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LE MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME

I.  Interaction magnétique

A.  Interaction aimant-aimant

  • Deux  pôles d’aimant de même noms se repoussent
  • Deux  pôles d’aimant de nom diffèrent s’attirent

Les forces responsables de cette attraction ou de cette répulsion sont des forces magnétiques. Elles ont même direction, des sens opposés et même norme.

Un aimant est un corps capable d’attirer des objets. Il comporte deux pôles : le pôle Nord (N) et le pôle sud (S). c’est au niveau des pôles que se manifeste les propriétés magnétique d’un aimant.

B.  Interaction courant-courant

Deux fils ou deux bobines parcourus par des courants

  • De même sens s’attirent
  • De sens différents se repoussent

Remarque

Une bobine parcourus par un courant possède 2 faces : une face nord (N) et une face sud (S).

Grace à la règle de la main droite, on peut déterminer la nature des faces d’une bobine. En effet, avec la main droite posée sur la bobine parcourue par un courant et la paume de la main tournent dans le sens du courant, le pouce tendu indique la face nord (N)

Autre méthode : la face sud (ou nord) d’une bobine est la face devant laquelle il faut se déplacer pour voir le courant circulé dans le sens des aiguilles d’une montre (ou sens trigonométrique).

C.  Interaction courant-aimant

La face d’une bobine parcourue par un courant est repoussée par un pôle d’aimant de même nom. Elle est attirée par un pôle d’aimant de nom contraire.

II.  Champ magnétique

A.  Caractéristique unité et mesure du champ magnétique

Le champ magnétique est la région de l’espace où existent des phénomènes magnétiques comme l’orientation d’une boussole, la déviation des charges en mouvement.

Le champ magnétique est caractérisé par un vecteur $\vec{B}$ appelé vecteur champ magnétique en un point M

  • Son point d’application : le point M
  • Sa direction : celle de l‘aiguille aimantée placée en M
  • Son sens : dirigé du pôle sud vers le pôle nord
  • Son module B qui s’exprime en Tesla (T) et se mesure) à l’aide d’un Teslamètre.

B.  Champ magnétique créé par la superposition des aimants

En un point donné de l’espace, le champ magnétique résultant créé par plusieurs aimants est

$\vec{B}_{resultat}$ $=\vec{B}_{1}+\vec{B}_{2}+….+\vec{B}_{n} \\=\sum_{i=1}^{n}\vec{B}_{i}$

Exercice

En un point M de l’espace se superposent 2 champs magnétiques $\vec{B}_{1}$ et $\vec{B}_{2}$ créés par 2 aimants dont les directions sont orthogonales. Les valeurs sont : $B_{1}=3.10^{-3}T$ et $B_{2}=4mT$.

 

     1. Déterminer les noms des pôles des deux aimants

      2. Construire graphiquement le champ résultant $\vec{B}$

      3. Calculer B et $\alpha=(\widehat{\vec{B}$ ;$\vec{B}_{1}})$

      4. Quelle est la position d’une aiguille aimantée placée en M

 

C.  Champ magnétique créé par une bobine parcourue par un courant

1.  Définition

Une bobine est constituée par un enroulement régulier de fil électrique sur un support cylindrique.

Un tour de fil sur le support est une sphère. Les bases du support cylindrique sont les faces de la bobine.

R : rayon de la bobine

L : longueur de la bobine

  • Si L<<R : on a une bobine plate
  • Si L>10R : la bobine porte le nom de solénoïde.

2.  Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde

A l’intérieur d’un solénoïde, le champ magnétique est :

  • Uniforme : les lignes de champ sont des droites parallèles
  • De direction : l’axe du solénoïde
  • De sens :dirigé de la face sud vers la face nord.
  • De module B

$B=\frac{\mu_{0}N}{L}.I=\mu_{0}nI$ avec $n=\frac{N}{L}$

$\mu_{0}$ :permittivité du vide $\mu_{0}= 4∏.10^{-7}SI$

N : nombre de spires du solénoide

L: longueur du solénoide

n: $\frac{N}{L}$ : nombre de spires par m

Remarque

  • Si le solénoïde comporte une couche de spires réalisées en enroulant régulièrement sur sa longueur L un fil de diamètre d et d’épaisseur négligeable, on a :

$\frac{N}{d}$

   . Si on a plusieurs couches alors

$N=k N’$ avec k : nombre de couche et N’ nombre de spires par couche

D.  Champ magnétique terrestre

Le champ magnétique terrestre noté $\vec{B}_{T}$ est assimilable à celui d’un aimant placé au centre de la terre et dont l’axe serait incliné d’un angle faible par rapport à l’axe de rotation

  • Le champ magnétique terrestre n’est ni horizontal ni vertical

Il pointe vers le sol et fait un angle $\hat{i}$ appelé inclinaison par rapport à l’horizontal. Il se décompose en deux vecteurs :

    • La composante horizontale $\vec{B}_{h}$
    • La composante verticale $\vec{B}_{v}$
  • Le plan du méridien magnétique est le plan vertical qui contient le vecteur magnétique terrestre

$cos\hat{i}=\frac{Bh}{B_{T}}$

L’aiguille aimantée prend la direction de $\vec{B}_{h}$ en absence de toutes les sources de champ.

Exercice

Un solénoïde long est constitué de 5 couches de fil à spires jointive, le fil à un diamètre d = 1mm, isolant compris.

L’axe du solénoïde horizontal est perpendiculaire au méridien magnétique. Une boussole est placée au centre.

  1. Dessiner une vue de dessus

2. on fait passer un courant de 5 mA

  • Indiquer sur le schéma le sens du courant et le sens de rotation de l’aiguille aimantée.

  • de quel angle l’aiguille tourne-t-elle ?

$B_{S}=\frac{U_{O}kI}{d}$ avec $k=\frac{U_{O}N}{I}$

III.  Mouvement d’une particule chargée dans le champ magnétique uniforme $\vec{B}$

A.  La force magnétique ou force de Lorentz

La force magnétique ou force de Lorentz d’une particule chargée de masse m et de charge q animée d’une vitesse $\vec{v}$ dans un champ magnétique est determinée par le produit vectoriel.

$\vec{F}_m=q\vec{V}Λ\vec{B}$

Caractéristiques de $\vec{F}_m$

  • Direction : $\vec{F}_m$ est perpendiculaire au plan formé par $\vec{V}$ et $\vec{B}$
  • Sens : on peut l’obtenir à travers la règle de la main droite
  • Le pouce suivant $\vec{V}$
  • L’index suivant $\vec{B}$
  • Le majeur suivant $\vec{V}Λ\vec{B}$

Si q>0 alors $\vec{F}_m$ et $\vec{V}Λ\vec{B}$ ont même direction et même sens

Si q<0 alors $\vec{F}_m$ et $\vec{V}Λ\vec{B}$ ont même direction et sens opposés

  • Module : $F_m=|q|.V.B.sin\hat{(\vec{V} ;\vec{B})}$
  • Si $\vec{V}\bot\vec{B}$ alors $F_m=|q|VB$
  • Si $\vec{V}\parallel\vec{B}$ alors $F_m=0$
  • Si $V=0$ alors $F_m=0$ : la force magnétique n’existe que lorsque la particule chargée est en mouvement dans le champ $\vec{B}$

B.  Mouvement d’une particule chargée dans un champ $\vec{B}$ tel que $\vec{V}\bot\vec{B}$

1.  Expression de l’accélération

Système {particule de masse m et de charge q}

RTSG

Bilan des forces : force magnétique

Appliquons la RFD

$Æ©\vec{F}_{ext}=m\vec{a}$ → $q\vec{V}Λ\vec{B}=m\vec{a}$

                                                    →$\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{V}Λ\vec{B}$

Comme $\vec{V}\bot\vec{B}$ alors $\left\{ \begin{array}{ll} \vec{F}_m\bot\vec{V} \; alors\; \vec{a}\bot\vec{V}\\\vec{F}_m\bot\vec{B} \; alors\; \vec{a}\bot\vec{B} \end{array} \right.$

2.  Planéité de la trajectoire du mouvement

Ici il s’agit de montrer que le mouvement de la particule est plan. Soit un repère (O,$\vec{i}$ ;$\vec{j}$ ;$\vec{k}$) avec $\vec{B}$ colinéaire à $\vec{k}$ $(\vec{B}=B.\vec{k}}$. A $t = 0$, la particule de masse m et de charge q penètre en O dans le champ $\vec{B}$ avec une vitesse $\vec{V}_{O}$ telle que $\vec{V}_O\bot\vec{B}$.

Dans le repère (O ;$\vec{I}$ ;$\vec{j}$ ;$\vec{k}$), on a :


$\overrightarrow{OM}_0 \left| \begin{array}{lll} 0\\0\\0 \end{array} \right.\qquad \qquad$ $\vec{V}_0 \left| \begin{array}{lll} V_0\\0\\0 \end{array} \right.$


Soit $\vec{V}_{O}=V\vec{i}$

$\vec{a}=\frac{q}{m}(\vec{V}Λ\vec{B})$  comme $\vec{a}\bot\vec{B}$ et $\vec{B}=B.\vec{k}$ alors

$az = 0$ → $\frac{dVz}{dt} = 0$

                →$Vz=cte$

Or, à $ t=0$, $\vec{V}_0 \left| \begin{array}{lll} V_0\\0\\0 \end{array} \right.$             


donc $Vz=0$ → $\frac{dz}{dt}=0$

                                                               → $z = cte$

Or A t = 0, $\overrightarrow{OM}_0 \left| \begin{array}{lll} 0\\0\\0 \end{array} \right.$           

        

donc $z=0$

D’où z=0 alors le mouvement est plan et il s’agit du plan XOY orthogonal à $\vec{B}$ et contenant $\vec{V}_{O}$.

3.  Uniformité du mouvement

1ère méthode

Comme $\vec{F}â”´\vec{V}$ alors $P=\vec{F}m.\vec{V}=0$

Or $P=\frac{dE_{C}}{dt}$ donc $\frac{dE_{C}}{dt}=0$

→ $E_{C}=cte$ → $V=cte$

Le mouvement de la particule est uniforme

2ème méthode

Dans la base de Frenet

$\vec{a}=\frac{dV}{dt}\vec{U}+\frac{V^{2}}{r}\vec{n}$

Or $\vec{a}â”´\vec{V}$ donc $\vec{a}=\vec{a}_{N}$

$\vec{a}=\frac{V^{2}}{r}\vec{n}=\frac{|q|}{m}VB\vec{n}$ car $\vec{V}â”´\vec{B}$

→$\frac{dV}{dt}=0$ et $\frac{V^{2}}{r}=\frac{|q|}{m}VB$

→ $\frac{dV}{dt}=0$ → $V=cte$

Donc on a un mouvement uniforme.

4.  Nature de la trajectoire

Dans la base de Frenet $\vec{a}=\frac{dV}{dt}\vec{u}+\frac{V^{2}}{R}\vec{n}$

Comme $\vec{a}â”´\vec{V}$ alors $\vec{a}=\vec{a}_{N}$

→ $\frac{q}{m}VB\vec{n} = \frac{V^2}{R}.\vec{n}$

→ $R=\frac{mV}{|q|.B}$

Or V, m, |q| et B sont des constantes, donc R est une constante.

D’où la trajectoire est circulaire.

C.  Application

1.  Déflexion ou déviation verticale

 

  • La déviation angulaire α

$α= (\widehat{\vec{A’I} ;\vec{IA}})=(\widehat{\vec{AS};\vec{AO}})$

$sinα=\frac{HS}{AS}=\frac{l}{R}=\frac{|q|Bl}{mV_{O}}$

Si α est faible c’est-à-dire l<

  • La déviation verticale D

$tanα=\frac{A’A}{IA}=\frac{D}{L-l/2}$ → $D=(L - l/2)tanα$.

Si α est faible c’est-à-dire l<

Si l<<L, on a donc $L - \frac{l}{2}≈L$ → $D=L\alpha rad$

 → $D=\frac{|q|.B.l.L}{m.V_{O}}$

Remarque

On sait que $D=\frac{|q|.B.l.L}{mV_{O}}$

Posons $k=\frac{|q|lL}{mV_{O}}$ alors $D=k.B$

La déflexion D est proportionnelle au champ $\vec{B}$.

2.  Spectrographe de masse

Le spectrographe de masse est un dispositif qui permet de séparer les isotopes d’un élément chimique.

Il comporte :

  • Une chambre d’ionisation ou sont produits les ions
  • Une cambre d’accélération où règne un champ $\vec{E}$ uniforme
  • Une chambre de déviation où règne un champ $\vec{B}$ uniforme
  • Une zone de réception ou de détection des ions

3.  Cyclotron

Un cyclotron est un accélérateur de particule. Il est formé de deux boites demi-circulaires appelées ‘’Dee’’. Dans chaque Dee règne un champ magnétique uniforme $\vec{B}$. Dans l’espace qui sépare les deux Dee règne un champ électrique $\vec{E}$

  • Période du cyclone

$T=\frac{2∏}{w}=\frac{2∏m}{|q|B}$

  • Fréquence

$N=\frac{1}{T}=\frac{|q|B}{2∏m}$

  • Energie cinétique

$E_{C}=\frac{1}{2}mV^{2}=\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}$ car $V=\frac{|q|.B.R}{m}$

Méthode de detection de sens de $\vec{V}$, $\vec{B}$ ou $\vec{F}_m$

  • 4 doigts reunis (saufs le pouce) indique $q\vec{V}*$
  • Paume de la main indique $\vec{B}$
  • Pouce indique $\vec{F}_m$