Les Nombres Réels
I. Rappels sur les ensembles de Nombres
Les différents ensembles que nous connaissons jusqu'à présent sont :
- $N$ est l’ensemble des entiers Naturels
$N$= { 0 ; 1 ;2 ;3 ; 4 ;5 ;....; .100; 10000 .....etc};
- $Z$ est l’ensemble des entiers relatifs $Z$ = $Z$+ ⋃ $Z$ -
$Z$ ={....... -6 ; -2 ; 0 ; +3; +100 ; +99999.......}; - $D$ est l’ensemble des décimaux relatifs. $D$ = $D$ + ⋃ $D$ -
$D$={ +4,5 ; -7,23......}; - $Q$ est l’ensemble des nombres Rationnels
Ex : $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{9}{10}$;$\frac{-4}{9}$; - $R$ est l’ensemble des nombres réels
Ex: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{7}$; $\frac{1}{13}$; $0; -1; 5; \pi $
- $NB$ : $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$
II. Intervalles de R
A. Activité
Tracer une droite graduée (D) (unité 1cm)
a) Placer les nombres suivants sur (D): -3 ; 2 ; 5 ; 6.
b) Colorier en rouge la partie de la droite où se situent les nombres strictement compris entre 2 et 5.
c) Colorier en vert la partie de la droite où se situent les nombres strictement inférieurs à -3.
d) Colorier en bleu la partie de la droite où se situent les nombres strictement supérieurs à 6.
Résolution
Remarque : les trois ensembles tracés en rouge, en bleu et en vert représentent des intervalles :
- Les nombres réels compris entre 2 et 5 forment un intervalle noté ]2 ; 5[ qui se lit “intervalle ouvert en 2 et 5“;
- Les nombres inférieurs à -3 forment un intervalle noté ]-∞ ; -3[ qui se lit “intervalle ouvert de moins infini à -3“;
- Les nombres strictements supérieurs à 6 forment un intervalle noté ]6 ;+∞ [ qui se lit “intervalle ouvert de 6 à plus infini “.
B. Types d’intervalles
1. Intervalles Ouverts
Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a< x <b est intervalle ouvert d'origine a et d'extrémité b. On note ]a;b[ qui se lit " l'intervalle ouvert de a en b ".
Sa représentation est :
a et b n’appartiennent pas à l’intervalle ]a ;b[.
2. Intervalles fermés
Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a≤ x ≤b est un intervalle fermé d’origine a et d’extrémité b . On note [a ;b] qui se lit "intervalle fermé en a et b".
Sa représentation est :
a et b appartiennent à l’intervalle [a ;b].
3. Intervalle semi fermé (semi-ouvert)
Pour deux nombres réels a et b , l’ensemble des nombres réels x tel que a≤ x<b
intervalle semi-fermé d’origine a et d’extrémité b . On note [a ;b[ qui se lit "intervalle fermé en a et ouvert en b".
Sa représentation est :
a appartient à l’intervalle [a ;b[ mais b ne l’appartient pas.
4. Intervalle illimité
a étant un réel, l’ensemble des réels x tel que x ≥ a est un intervalle illimité à droite contenant a. on note [a ; +∞[ qui se lit "intervalle fermé en a jusqu'à plus infini ".
Sa répresentation est :
L’ensemble des réels x tel que x ≤ a est un intervalle illimité à gauche contenant a.
On note ]-∞ ; a ] qui se lit de moins l'infini jusqu'a l'intervalle fermé en a.
Sa représentation est :
L’ensemble des réels x tel que x < a est un intervalle illimité à gauche ne contenant pas a. On le note : ]-∞ ; a[.
Sa représentation est :
Attention :
- Ne ferme jamais un intervalle au niveau de -∞ et +∞ ;
- Avec les symboles ≤ et ≥ les intervalles sont fermés au niveau des nombres réels;
- Avec les symboles < et > les intervalles sont ouverts au niveau des nombres réels.
Exercice d’application
1) Ecrire sous forme d’intervalles , chacun des ensembles de nombres défini ci-dessous.
- $-3 ≤ x ≤ \frac{9}{2}$ ;
- $17 ≤ x$ ;
- $x ≥ -5.3$;
- $-6 < x< \frac{13}{2}$;
- $-4< x ≤11$;
- $x < -2$.
2) Traduire à l’aide d’une égalité l’appartenance de $x$ a chacun des intervalles ci-dessous.
- $x \subset [0 ; +∞[ $;
- $x \subset[-45 ; \frac{24}{3}[ $;
- $x \subset]-∞ ; 3[ $;
- $x \subset[3 ; 15] $.
3)Donner la représentation graphique des intervalles suivants:
- $x \subset[1 ; +∞[$ ;
- $x \subset]-∞ ;-1[ $;
- $x \subset]1; 4[$.
NB :Hachurer la partie non concernée par l’intervalle.
III. Encadrement
A. Encadrement d’une somme
1. Propriété
Etant donné les réels $a$ , $a’$ ,$b$ , $b’$, $ x $ et $ x’$ ;
Si $a < x < b $ et $a’ <x’< b’$ alors $a + a’ < x + x’ < b +b’ $
2. Exemple
1) On donne $-2< x < 9 $ et $ 3 < x' < 5$ trouver l'encadrement de $ x + x'$
2) On a :$3,14< π <3,15$ trouver un encadrement de $π+1 ; π-3$
B. Encadrement d’un produit
1. Propriété
Etant donné les réels positifs : $a, a’, b, b’, x$ et $x’$, Si $a< x <b$ et $a'< x <b'$ alors $a.a'< x.x' <b.b'$.
Remarque :
Soit $m$ un réel;
- si $a< x <b$ et $m > 0$ alors $a.m < x. m<b.m$;
- si $a< x < b$ et $m < 0$ alors $b.m < x. m < m.a$.
2. Exemple
On donne $3< x <4$ et $9< y < 14$ ; trouver l’encadrement de $xy$.
C. Encadrement de l’opposé
1. Propriété
Etant donné des réel : $ a, b$ et $x$. Si $a< x < b$ et $-b < -x < -a$.
2. Exemple
Soit $ 3 < x < 5$. Quel est l'encadrement de $ -x $?
D. Encadrement d’une différence
1. Propriété
Etant donné les réels $ a , b , c , d , x $ et $y$. Si $a< x < b$ et $c< y< d$, pour trouver l'encadrement de $x-y $, il faut:
- savoir que $x-y =x+(-y)$
- Encadrer d'abord $–y$ puis ensuite $x+(-y)$
$c< y< d$
$-d< -y< -c$
$a< x <b$ alors $a-d< x-y <b-c$.
2. Exemple
Soient $1,5 < x <3 $ et $ 0,4 < x <0,8 $ .Encadrer $x - y$.
x−y
IV. Valeur absolue – Distance
A. Valeur absolue d’un nombre réel
1. Activité
Compléter le tableau suivant:
$a$ | 4 | 5 | 7,4 | 11,2 | 0 |
$-a$ | -4 | -5 | -7,4 | -11,2 | 0 |
$ΙaΙ$ | 4 | 5 | 7,4 | 11,2 | 0 |
- Ecrire une égalité entre $|a|$ , $a et -a$ suivant le signe de $a$.
2. Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre réel $x$ le réel noté $|x|$ défini par :
*$|x|=x$ si $x≥0$;
*$|x|= -x$ si $ x≤0$.
3. Conséquences de la définition
Pour tout réel $x$, on $a$ :
- $|x|≥0$;
- $|x|=0$ si $x=0$;
- $X=0$ si $ |x|=0$.
B. Ecriture d’une expression sans le symbole de valeur absolue
1. Propriété
$\rightarrow |ax+b|=ax+b$ si $ax+b≥ 0$ c’est-à-dire si $x≥ \frac{-b}{a}$ ou si $x∈ [\frac{-b}{a}; +∞[$.
$\rightarrow |ax +b|=-(ax +b)=-ax-b$ si $ax+b≤ 0$ c’est-à-dire si $x≤ \frac{-b}{a}$ ou si $x∈] − ∞; \frac{-b}{a}]$.
On établit ensuite le tableau comme celui-ci-dessous :
$x$ |
|
||||
$|ax+b|$ | $-ax-b$ | $ax+b$ |
On donne en fin les réponses :
Pour $x ∈] − ∞; \frac{-b}{a} ] ;|ax+b|=-ax-b$;
Pour $x∈ [ \frac{-b}{a}; +∞[ ;|ax+b|=ax+b$.
2. Exemple
Exemple 1 : Ecrire sans le symbole de valeur absolue : $|2x+5| ; |-5x+1|$.
Exemple 2 : Ecrire sans le symbole de valeur absolue : $A=|2x-1|+|-x+4|$ ;$B=|-1+x|+|5-2x|$.
C. Distance entre deux réels
1. Activité
Soit $(D)$ une droite graduée ; placer sur les points $A ; B ; C$ et $D$ tels $A(+4) ; B(-5) ; C(+ 3)$ et $D(-6)$.
Calculer les distances $AB ; BC ; CD$.
Calculons :
$AB=|x_{B} –x_{A} |=|-5-4| = |-9|=9$
$BC=|x_{C} –x_{B} |=|3+5| = |8|=8$
$CD=|x_{D} –x_{C} |=|-6-3| = |-9|=9$
2. Définition
Soit a et b deux réels. On note $A $ et $ B$ les points d’abscisses respectives $a$ et $b$ sur une
droite graduée.
On appelle distance des réels $a$ et $b$ le réel $|a-b|$ ; on le note $d(a ;b)$. on a :
$d(a ;b)=|b-a|=AB$.
Soient $a(-7)$ et $b(4)$, $AB = d(-7;4) = |4-(-7)| = 11$.
3. Conséquences de la définition
Pour tous réels $a$ et $b$ :
*si $a=b$ alors $d(a ;b)=0$;
*si $d(a ;b)=0$ alors $a=b$;
*$d(a ;b)≥0$ la distance est toujours positive;
*$d(a ;b)= d(b ;a)$ c'est-à-dire $AB = BA$.