Systèmes d'équations - Systèmes d'inéquations
I. Equations et système d’équations dans â„ x â„
A. Equations dans â„ x â„
- Exemple
Soit à résoudre dans $â„ x â„$ l’équation $3x+2y=5$.
Résoudre l’équation $3x+2y=5$ c’est donc trouver tous les couples de réels $(x ;y)$ pour que l’égalité $3x+2y=5$ se verifie. - Exemple de résolution
Trouvons des couples de nombres réels qui vérifient l’équation 3x+2y=5.
X Y A 1 1 B -1 4 C 3 -1 Y=$\frac{5-3x}{2}$
(x;$\frac{5-3x}{2}$) est une solution générale de $3x+2y=5$.
L’équation $3x+2y=5$ admet une infinité de solutions.
- Résolution graphique
Soit à résoudre graphiquement l’équation $3x+2y=5$.
Résoudre graphiquement l’équation $3x+2y=5$ c’est trouver dans le plan muni d’un repère les points dont les coordonnées $(x ;y)$ vérifient l’équation $3x+2y=5$.
L’ensemble de ces points représente une droite d’équation $3x+2y=5$.
B. Système d’équations dans â„ x â„
Résoudre dans $â„ x â„$ le système (F): $\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5\\ 7x+5y&=&15 \end{array} \right .$
Résoudre ce système c’est trouver l’ensemble des couples de réels $(x ;y)$ qui sont à la fois solution de $3ð‘¥ + 2𑦠= 5 et de 7ð‘¥ + 5𑦠= 15$.
1. Résolution par Identification
On choisit une des inconnues que l’on exprime en fonction de l’autre dans chacune des deux équations. Résolvons par identification (F) $\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5 (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$
Tirons y dans (1) et dans (2) $\left \{ \begin{array}{ccc} 2y&=&5-3x (1)\\ 5y&=&15-7x (2)\end{array} \right .$
$\left \{ \begin{array}{ccc} y&=&\frac{5-3x}{2} (1)\\ y&=&\frac{15-7x}{5} (2)\end{array} \right .$
$y=y$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{5-3x}{2}=\frac{15-7x}{5}$
$5(5-3x)=2(15-7x)$;
$25-15x=30-14x$;
$-15x+14x=30-25$;
$-x=5$;
$x=-5$;
Remplacons x par sa valeur dans l'équation (1)
$3x+2y=5$;
$3(-5)+2y=5$;
$-15+2y=5$;
$2y=5+15$;
$2y=20$;
$y=10$;
$S_R×_R$={(-5;10)}
2. Résolution par substitution
Dans l’une des équations , on exprime x en fonction de y (ou y en fonction de x) et reporte le résultat dans la seconde équation Exemple : Résolvons par substitution (F) $\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5 (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$
$\left \{ \begin{array}{ccc} 2y&=&5-3x (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$
$\left \{ \begin{array}{ccc} y&=&\frac{5-3x}{2} (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$
Remplaçons y par $\frac{5-3x}{2}$ dans (2)
$5(\frac{5-3x}{2})+7x=15$
$\frac{25-15x+14x}{2}=15$
$25-x=30$
$-x=5$
$x=-5$
Remplaçons x par sa valeur dans l'équation (1)
3. Résolution par combinaison linéaire
On élimine une des inconnues en multipliant les membres de chaque équation par un nombre judicieusement choisi.
Exemple : Résolvons par combinaison linéaire (F) $\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5 (1)\\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$
Multiplions les membres de l'équation (1) par "-5" et ceux de (2) par "2"
$\left \{ \begin{array}{ccc} 3x+2y&=&5 (1) \\ 7x+5y&=&15 (2)\end{array} \right .$
$\left \{ \begin{array}{ccc} -15x-10y&=&-25 (1)\\ 14x+10y&=&30 (2)\end{array} \right .$
$-x+0=5$
$x=-5$
Remplaçons x par sa valeur dans l'équation (1)
$3x+2y=5$;
$3(-5)+2y=5$;
$-15+2y=5$;
$2y=5+15$;
$2y=20$;
$y=10$;
4. Méthode graphique
On représente dans un repère orthonormé les droites (D1) et (D2) d’équation respective
2𑥠- 𑦠= 5 et 𑥠+ 3𑦠= 6
Les coordonnées du point d’intersection des droites (D1) et (D2) est solution du
(E) $\left \{ \begin{array}{ccc} 2x-y&=&5 (1)\\ x+3y&=&6 (2)\end{array} \right .$
Exemple résolvons graphiquement (E) $\left \{ \begin{array}{ccc} 2x-y&=&5 (1)\\ x+3y&=&6 (2)\end{array} \right .$
(D1) : 2x-y= 5 (D2) : x+3y = 6
Determiner les coordonnées des points A et B tel que (D1) : 2x-y= 5
Determiner les coordonnées des points E et F tel que (D2) : x+3y = 6
C. Résolution de Problèmes
1. Problème conduisant à un système d’équation dans â„xâ„
Pour faire la fête de la réussite de leurs enfants aux examens scolaires, la famille SAVADOGO a tué des pintades et des lapins. Sachant que 20 animaux ont été tué et le nombre de pattes de ces animaux est de 54 , trouver le nombre de pintades et celui des lapins. Pour résoudre ce problème on suit la démarche suivante : (1)Choix des inconnues Soit $x$ le nombre de pintades et $y$ le nombre de lapins.
II. Inéquations et systèmes d’inéquations dans ℠× â„
A. Inéquation dans â„ xâ„
Exemple Soit à résoudre dans $â„ xâ„$ l’inéquation $2x-y +3 > 0$. Résoudre cette inéquation $2x-y +3 > 0$ c’est trouver tous les couples de réels $(x ;y)$ tels que l’inéquation $2x-y +3 > 0$ se vérifie.
L’inéquation $2x-y+3>0$ admet une infinité de solutions par exemple:
X | Y | |
A | 0 | 0 |
B | 1 | 1 |
C | 3 | -1 |
D | 5 | 2 |
E | 7 | 0 |
Résolution graphique:
Soit à résoudre graphiquement l’inéquation $2x-y +3 < 0$ c’est trouver dans le plan muni d’un repère les points dont les coordonnées $(x ;y)$ vérifient $2x-y +3 < 0$. .
Ainsi on représente la droite $(D)$ d’équation $2x-y +3= 0$ et l’ensemble solution est un demi plan délimité par la droite $(D)$ que l’on peut hachurer
$(D):2x-y+3=0$
X | Y | |
A | -2 | -1 |
B | 0 | 3 |
$C(-4;2) : -8-2+3=-7<0$ alors $C∈S_R×_R$
$2x-y+3<0$
$D(3;2) : 2(3)-2+3$ $6-2+3=7>0$ alors $D∉S_R×_R$
$2x-y+3<0$
B. Systèmes d’inéquations dans â„ xâ„
Soit à résoudre graphiquement le système (E)$\left \{ \begin{array}{ccc}x + y (1)&>&-1\\ x - 2&>&-4 (2) \end{array} \right $$.
$(D_1):x+y=-1$
x | y | |
A | 0 | -1 |
B | -1 | 0 |
$(D_2):x-2y=-4$
x | y | |
A | -2 | -1 |
B | -4 | 0 |
III. Résolution de Problèmes
A. Problème conduisant à un système d’équation dans â„xâ„
Pour faire la fête de la réussite de leurs enfants aux examens scolaires, la famille SAVADOGO a tué des pintades et des lapins. Sachant que 20 animaux ont été tué et le nombre de pattes de ces animaux est de 54 , trouver le nombre de pintades et celui des lapins.
Pour résoudre ce problème on suit la démarche suivante :
1 - Choix des inconnues
Soit $x$ le nombre de pintades et $y$ le nombre de lapins.
2 - Mise en équations
$\left \{ \begin{array}{ccc} x+y&=&20\\ 2x+4y&=&54\end{array} \right $.
3 - Résolution du système
On trouve après résolution que $x=13$ et $y=7$.
4 - Vérification
$\left \{ \begin{array}{ccc} x+y&=&20\\ 2x+4y&=&54\end{array} \right $.0
$\left \{ \begin{array}{ccc} 13+7&=&20\\ 2*13+4*7&=&54\end {array} \right$ vrai.
5 - Conclusion
Le nombre de pintades est de 13 et celui de lapins est de 7.
Exercice d’application
Dans une ferme il y a des poules et des chèvres.
Sachant qu’il y a au total 23 têtes et 76 pattes,combien y a-t-il de poules et de chèvres ?
B. Problème conduisant à un système d’inéquation dans â„xâ„
Une usine fabrique deux produits A et B .La fabrication d’une tonne du produit A nécessite 1h de travail et la fabrication d’une tonne du produit B nécessite 2h de travail. L’usine travaille au maximum 16 heures par jour. La fabrication d’une tonne de A entraine une dépense de 3000francs et la fabrication d’une tonne de B entraine une dépense de 1000francs. Le budget de l’entreprise en permet de consacrer plus de 24000francs par jour à cette fabrication. Un client commande à cette usine $x$ tonnes du produit A et $y$ tonnes de produit B.($x$ et $y$ non nuls).
a) Déterminer graphiquement l’ensemble des couples naturels $(x ; y)$ qui correspondent aux commandes que l’usine peut fabriquer en une journée.
b) Déterminer l’ensemble de couples de naturels $(x ; y)$ pour lesquels la masse totale des produits fabriqués est maximale.
Résolution du problème
(1) Choix des inconnues
Soit $x$ le nombre de tonnes de produit A et $y$ celui du produit B tel que $x> 0$ et $y>0$.
(2)Mise en inéquations
$\left \{ \begin{array}{ccc} x+2y&≤&16 (1)\\ 3000x+1000y&≤&24000 (2)\end{array} \right$.
$\left \{ \begin{array}{ccc} x+2y&≤&16 (1)\\ 3x+y&≤&24 (2)\end{array} \right$.
(3) Résolution graphique
$(D_1):x+2y=16$
x | y | |
A | 4 | 6 |
B | 2 | 7 |
$(D_2):3x-y=24$
x | y | |
A | 6 | 6 |
B | 8 | 0 |
(4) Conclusion
- L’ensemble des couples naturels $(x ; y)$ qui correspondent aux commandes que l’usine peut fabriquer en une journée sont (1 ;1) ; (1 ;2)…………..les 39 pointes.
- L’ensemble de couples de naturels $(x ; y)$ pour lesquels la masse totale des produits fabriqués est maximale sont : $A(4 ; 6)$ ; $B(2 ; 7)$ ; $D(8 ;0)$ et $E(7 ; 3)$.