Chapitre 3: TRAVAIL ET ENERGIE CINETIQUE - Physique-Chimie Terminale D | DigiClass
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TRAVAIL ET ENERGIE CINETIQUE

I.  Travail d’une force

A.  Définition

Le travail $W_{AB}$ transféré au solide par la force constante $\vec{F}$ , lorsque son point d’application se déplace de A en B est égal au produit scalaire de la force $\vec{F}$ par le vecteur déplacement $\vec{AB}$

B.  Expression du travail d’une force

L’expression du travail d’une force est :

$W_{AB}$ = $\vec{F}. \overrightarrow{AB}$ ou  $W_{AB}$ = $\vec{F}.d\cos\alpha$  $\left\{\begin{array}{rcr}F&=&norme de \vec{F} \\d&=&norme de \vec{AB} \\ \alpha&=&angle(\vec{F}, \overrightarrow{AB}) \\\end{array}\right.$

$\textbf{Remarque}$ :

  1. L’unité du travail dans le système international est le Joule(J)
  2. Le travail d’une force ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A vers B mais de la distance d entre A et B.
  3. Quelques résultats à connaître
    1. Si d = 0 ou si α=$\frac{π}{2}$; $W_{AB}$ = 0 : le travail est nul.
    2. Si 0 ≤ α < $\frac{π}{2}$; $W_{AB}$ > 0 : le travail est moteur.
    3. Si $\frac{π}{2}$ < α ≤ π; $W_{AB}$ < 0 : le travail est résistant.

C.  Exemple : Travail du poids

Le travail du poids d’un corps transféré à un objet ne dépend que de la différence d’altitude de son centre d’inertie.

$W_{AB}$ = $m.g.(Z_A  - Z_B)$ = $m.g.h$

$\textbf{Remarque}$

  • Si l’altitude diminue le travail est moteur
  • Si l’altitude augmente le travail est résistant

$\textbf{Cas d’un plan incliné}$

$W_{AB}=m.g.h$ or $h=x.sinα$ donc $W_{AB}=m.g.x.sinα$

II.  Théorème de l’énergie cinétique

A.  L’énergie cinétique

L’énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de sa vitesse.Dans le cas d’un mouvement de translation on a :

$E_{c}$ = $\frac{1}{2}mV^{2}$

B.  Enoncé du théorème de l’énergie cinétique (T.E.C)

Dans un référentiel galiléen la variation de l’énergie cinétique d’un solide en translation entre deux instant $t_1$ et $t_2$ est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide entre les deux instants.

$ΔE_{C}$=  $ΔE_{C_{2}}$ - $ΔE_{C_{2}}$ =ƩW$(\overrightarrow{F_{ext}})$

C.  Application à un solide en translation

Dans le cas d’un solide en translation on a :$ΔE_{C}$=  $ΔE_{C_{2}}$ - $ΔE_{C_{2}}$ = $\frac{1}{2}mV^{2}_{2}$ - $\frac{1}{2}mV^{2}_{1}$ = W$(\overrightarrow{F_{ext}})$

Exercices d’application

Exercice 1

On lance une pierre de masse m = 100g verticalement vers le haut. La pierre part d’un point O pris comme origine des altitudes avec une vitesse initiale $V_0$ = $15 m.s^{-1}$ .On négligera l’action de l’air.

  1. Calculer l’altitude maximale atteinte.
  2. Calculer la vitesse lorsqu’elle repasse par le point O.

Corrigé

  1. L’altitude maximale

Système étudié : la pierre

Référentiel d’étude : terrestre supposé galiléen

Bilan des forces extérieures : le poids $\vec{P}$ .

D’après le T.E.C : $\frac{1}{2}mV^{2}_{1}$ - $\frac{1}{2}mV^{2}_{0}$ = W($\vec{P}$) or $V_1$ = 0 d’où  - $\frac{1}{2}mV^{2}_{0}$ = -mgh ⇒ h=$\frac{V^{2}_{0}}{2g}$

  1. La vitesse lorsqu’elle repasse par le point O

D’après le T.E.C : $\frac{1}{2}mV^{2}_{2}$ - $\frac{1}{2}mV^{2}_{1}$ = W($\vec{P}$) or $V_1$ = 0 ⇒ $\frac{1}{2}mV^{2}_{2}$ = mgh ⇒ $V^{2}_{2}$ = 2gh or h=$\frac{V^{2}_{0}}{2g}$ ⇒ $V^{2}_{2}$ = $V^{2}_{0}$ ⇒ $V_{2}$ = $V_{0}$

Exercice 2

Un enfant de masse 30 kg, glisse sur un plan incliné faisant un angle α = 40° par rapport à l’horizontale. Les frottements du plan incliné sur l’enfant sont équivalents à une force  constante opposée à la vitesse et de valeur égale à 150N. La longueur du plan incliné est L = 5 m. L’enfant part du haut du plan incliné avec une vitesse nul.

Calculer la vitesse de l’enfant en bas du plan incliné.

Corrigé

Système étudié : enfant

Référentiel d’étude : terrestre supposé galiléen                                                                                                                         

Bilan des forces :

  • Le poids : $\vec{P}$                                                                                                                                      
  • La réaction : $\vec{R}$ = $\vec{N}$ + $\vec{f}$ avec  $\vec{N}$  : est la composante normale au plan incliné

   $\vec{f}$ : est la force de frottement.

  • Application du TEC :

$\frac{1}{2}mV^{2}_{1}$ - $\frac{1}{2}mV^{2}_{0}$ = W($\vec{P}$) + W($\vec{R}$) = W($\vec{P}$) + W($\vec{N}$) + W($\vec{f}$)

W($\vec{P}$) = $mgh$ = $mgLsinα$    W($\vec{N}$) = 0  W($\vec{f}$) = $-fL$ et $V_{0}=0$

$\frac{1}{2}mV^{2}_{1}$ = $mgLsinα-fL$ donc $V_1$ = $\sqrt{2L(gsinα-\frac{f}{m})}$  $V_1$ = $3,6m.s^{-1}$

III.  Puissance d’une force

A.  Puissance instantanée

La puissance instantanée d’une force est égale au produit scalaire de la force instantanée $\vec{F}$ par le vecteur vitesse de son point d’application à l’instant considérée.

$P(t)$ = ($\vec{F}$ . $\vec{V}$)

B.  Puissance moyenne

La puissance moyenne $\textbf{P_m}$ transférée à un système est le quotient du travail mécanique par la durée Δt correspondante.

$P_m$ = $\frac{W}{Δt}$

C.  Autres expressions du théorème de l’énergie cinétique

La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un solide est égale à la puissance des forces extérieures appliquées au solide.

$dE_{C} = P.dt$

Exercices d’application

EXERCICE 1

Une bille M assimilable à un point matériel de masse m=50g est abandonnée sans vitesse initiale en un point A d’une piste ABCD. La piste est constituée : - d’un tronçon rectiligne AB incliné d’un angle α=30° par rapport à l’horizontal ; AB=1,6m ; - d’un tronçon rectiligne horizontal BC ; - d’un tronçon circulaire CD, de centre O, et de rayon 𝑟=60𝑐𝑚 et tel que OC est perpendiculaire à BC.

Les frottements s’exercent qu’entre B et C, et sont équivalents à une force f parallèle au déplacement et d’intensité constante f=0,4N.

  1. Calculer la vitesse de la bille en B et la durée du trajet AB.


    1. Quelle est la nature du mouvement de la bille sur la piste BC.
    2. Donner l’équation horaire de M sur la portion BC.
    3. Quelle devrait être la longueur BC pour que M arrive en C avec une vitesse nulle ?
  2. La bille M part en C avec une vitesse nulle et aborde la portion CD. La position de M est repérée par
    l’angle θ=($\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OE})$ au point E.
    1. Exprimer, en fonction de g, r, et θ, la vitesse de M en E.
    2. Donner, en fonction de m, g, r, et θ, l’intensité de la réaction R de la piste sur M en E.
    3. Calculer l’angle θo pour que M quitte la piste. En déduire la vitesse de M en ce point.

CORRIGE

  1. Vitesse de la bille en B

Bilan des forces : $\vec{P}$  et $\vec{R}$  de la piste.

T.E.C : entre A et B $E(B) - EC(A)$ = $W(\vec{P})$ + $W(\vec{R})$ ,

Or $E(A)$ = 0  $\frac{1}{2}mV^{2}_{B}$  = $mgh$ = $mgAB\sinα$ ⇒ $V_B$ = $\sqrt{2gAB\sinα}$     AN : $V_B$ = $4m/s$

- Durée mise par la bille M pour atteindre le point B

T.C.I : $\vec{P}$ + $\vec{R}$ = $m\vec{a}$ suivant $\vec{AB}$ : $mgsinα$ = $ma$  ⇒ $a=gsinα$

AN : a =10 × 0,5 = 5 $m.s^{-2}$ (MRUA)

$(t)$ = 1$2at^{2}$ = $2,5t^{2}$ , or au pont B :

$AB$ = $x$ = $2,5$ ⇒ $t_{AB}$ = $\sqrt{\frac{AB}{2,5}}$ = $0,8s$

  1. a)) Nature du mouvement de M sur piste BC

Sur la piste BC, la bille est soumise à son poids $\vec{P}$ , à la réaction $\vec{R}$ = $\vec{R_N}$ + $\vec{f}$

$\vec{R_N}$ réaction normale et $\vec{f}$ la force de frottement.

 

T.C.I : $\vec{P}$ + $\vec{R}$ = $m\vec{a}$ suivant $\vec{BC}$ :

-$f=ma$ ⇒ $a = \frac{-f}{m}$ = $ \frac{-0,4}{0,05}$ = $-8 m.s^{-2}$

Comme a<0, alors le mouvement de la bille M sur la portion BC est uniformément retardé.

b) Equation horaire de la bille sur la portion BC

 𝐴 𝑡=0,8𝑠∶

$x(t) : \frac{1}{2}at^{2} + V_{0}t $ = $-4t^2 + 4t $ et $v(t) =at+V_0$ = $-8t + 4$

c) Calcul de la distance BC

- $\textbf{Premièree méthode}$ :

Au point C, v(𝑡)=−8𝑡+4=0 ⇒ 𝑡𝐵𝐶=0,5𝑠.  A t = 0,5s, 𝐵𝐶=(𝑡)=−4×0,52+4×0,5=1m

- $\textbf{Deuxième méthode}$ :

T.E.C entre B et C

$E_{C}(C) - E_{C}(B) = W(\vec{P}) + W(\vec{R_N}) + W(\vec{f})$

⇒ $-\frac{1}{2}mV^{2}_{B}$ = $-fBC$ ⇒ $BC$ = $\frac{mV^{2}_{B}}{2f}$ = $\frac{0,05*16}{2*0,4}$

3.a)) Expression de la vitesse de la bille en E en f(g, r, et θ)

TEC entre C et E; $E(E) - E_{C}(C) = W(\vec{P}) + W(\vec{R_N})$; Or $E_{C}(C)=0$

b)) Expression de l’intensité la réaction R au point E RFD :

$\vec{P}$ + $\vec{R}$ = $m\vec{a}$ suivant $\vec{N}$ :

$mg\sinθ - R$ = $ma_n$ = $m\frac{V^{2}_{2}}{r}$ = $2mg(1-sinθ)$

$R_{E}=mg(sinθ-1+2+sinθ)$ = $mg(3sinθ-2)$

c) Valeur de l’angle $θ_0$ pour que la bille quitte la piste en E

Si la bille quitte la piste E, alors :

$R_E=0$ ⇒ $3sinθ_{0} -2$ ⇒ $sinθ_{0} = \frac{2}{3}$ ⇒ $θ_0$ = 41,81°

Vitesse de la bille au pont d'angle $θ_0$ = 41,81°

$V_0$ = $\sqrt{2gr(1-sinθ_{0})}$ = $\sqrt{2.10*0,6(1-\frac{2}{3})}$ = $2m.s^{-1}$