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Exo N°1: Courbes de Lissajous
Soit $(\mathcal{C})$ la courbe définie par ces équations paramétriques : $\mathbf{\left\{\begin{array}{l} x(t)=2cos(t)\\y(t)=3sin2(t) \end{array} \right.}$; $t\in{\mathbb{R}}$
Indiquer la position des points $M(t)$ et $M(t+2π)$.
Indiquer la position des points $M(t)$ et $M(-t)$. On précisera la symetrie de la courbe. En déduire un intervalle d'étude.
Indiquer la position des points $M(π-t)$ et $M(t)$. En déduire un intervalle d'étude $I$.
Etudier les variations de $x$ et de $y$ sur $I$ et dresser le tableau de variations conjoint.
Tracer la courbe $(\mathcal{C})$.
Correction
$x(t+2π)$ $=2cos(t+2π)$ $=2cost=x(t)$. $y(t+2π)$ $=3sin(2t+4π)$ $=3sin2t$ $=y(t)$ Comme $x(t+2π)$ $=x(t)$ et $y(t+2π)$ $=y(t)$ alors $M(t)$ et $M(t+2π)$ sont confondus.
$x(-t)$ $=2cos(-t)$ $=2cost=x(t)$. $y(-t)$ $=3sin(-2t)$ $=-3sin2t=-y(t)$ Comme $x(-t)=x(t)$ et $y(-t)=-y(t)$ alors $M(t)$ et $M(-t)$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses d'où $(\mathcal{C})$ admet l'axe des abscisses comme axe de symétrie. Déduisons-en un intervalle d'étude : -Comme $M(t)$ et $M(t+2π)$ sont confondus alors on peut étudier $(\mathcal{C})$ sur un intervalle de longueur $2π$ donc l'intervale $[-π;\;π]$. -Pour $t$ ∈ $[0;\;π]$; $-t$ ∈ $[-π;\;0]$ et de plus $M(t)$ et $M(-t)$ sont symétriques par rapport à $(Ox)$ donc on peut étudier $(\mathcal{C})$ sur $[0;\;π]$.
$x(π-t)$ $=2cos(π-t)$ $=-2cost=-x(t)$ et $y(π-t)$ $=3sin(2π-2t)$ $=3sin(-2t)$ $=-3sin(2t)$ $=-y(t)$ Comme $x(π-t)=-x(t)$ et $y(π-t)=-y(t)$ donc $M(π-t)$ et $M(t)$ sont symétriques par rapport à l'origine du repère. Déduisons un intervalle d'étude de $(\mathcal{C})$ : Pour $t$ ∈ $[0;\;\frac{π}{2}]$; $-t$ ∈ $[\frac{π}{2};\;π]$ et aussi $M(π-t)$ et $M(t)$ sont symétriques par rapport à l'origine du repère alors on peut étudier $(\mathcal{C})$ sur $[0;\;\frac{π}{2}]=I$.
Etudions les variations de $x$ et de $y$ sur $I=[0;\;\frac{π}{2}]$. -On a : $x'(t)=-2sint$. Pour tout $t$ ∈ $[0;\;\frac{π}{2}]$; $sint≥0$ $\Rightarrow$ $x'(t)≤0$ d'où $x$ est décroissante sur $I$. -On a : $y'(t)=6cos2t$. ∗ Pour $t$ ∈ $[0;\;\frac{π}{4}]$; $2t$ ∈ $[0;\;\frac{π}{2}]$ $\Rightarrow$ $cos2t≥0$ pour $t$ ∈ $[0;\;\frac{π}{4}]$ donc $y$ est décroissante sur $[0;\;\frac{π}{4}]$. ∗ Pour $t$ ∈ $[\frac{π}{4};\;\frac{π}{2}]$; $2t$ ∈ $[\frac{π}{2};\;π]$ $\Rightarrow$ $cos2t≤0$ pour $t$ ∈ $[\frac{π}{4};\;\frac{π}{2}]$ donc $y$ est décroissante sur $[0;\;\frac{π}{4}]$. Dressons le tableau de variations conjoint :
